Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 3. (2,5 puntos) La ecuación de demanda de un determinado producto viene dado por la expresión $p=400-2q$; y su función de coste total es $C(q)=\mathrm{0,2}{q}^2+4q+400$, donde $q$ es el número de unidades de dicho producto y $p$ se expresa en euros por unidad. Determine:
a) La expresión de la función de beneficios de la empresa.
b) El nivel de producción, $q$, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa.
c) El beneficio máximo.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}$

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste, y el ingreso es el precio por las unidades vendidas.

$I(q)=p\cdot q=(400-2q)q=400q-2q^2$

$B(q)=I(q)-C(q)=400q-2q^2-(\mathrm{0,2}{q}^2+4q+400)$

$B(q)=-\mathrm{2,2}{q}^2+396q-400$

La función de beneficios de la empresa, en euros, es $B(q)=-\mathrm{2,2}{q}^2+396q-400$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathit{q}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}$

Se anula la derivada para localizar el punto crítico.

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=-\mathrm{4,4}q+396=0\Rightarrow q={\displaystyle \frac{396}{\mathrm{4,4}}}=90$

Se confirma con la segunda derivada que se trata de un máximo, coherente con que la parábola tenga las ramas hacia abajo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)=-\mathrm{4,4}<0$



El beneficio se maximiza produciendo $90$ unidades.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}$

$B(90)=-\mathrm{2,2}\cdot 8100+35640-400=-17820+35640-400$

$B(90)=17420$

El beneficio máximo de la empresa es de $17420$ euros, alcanzado con una producción de $90$ unidades.