Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 3B)
La cantidad de agua que consume una máquina para funcionar depende del tiempo y viene dada por
$f(t)=t^3-2t^2+t,t>0$
donde $t$ es el tiempo medido en horas.

(a) (1 punto) ¿A qué hora consume la máquina la menor cantidad de agua? ¿Cuál es esa cantidad mínima?
(b) (0,5 puntos) Determina los periodos de crecimiento y decrecimiento del consumo de agua.
(c) (0,5 puntos) ¿Tiene la función $f(t)$ algún punto de inflexión? En caso afirmativo, calcula el punto o los puntos.
(d) (1 punto) Halla la recta tangente a $f(t)$ paralela a la recta $y-\frac{7}{4}t=5$.

Antes de empezar conviene factorizar la función, porque la forma factorizada se usa en varios apartados.

$f(t)=t^3-2t^2+t=t(t^2-2t+1)=t(t-1{)}^2,t>0$

Se calculan también las dos primeras derivadas, que son las herramientas de todos los apartados.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=3t^2-4t+1$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6t-4$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{consume}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{quina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima?}}$

Los candidatos a extremo son los puntos donde se anula la primera derivada, y el criterio de la segunda derivada decide de qué tipo es cada uno.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 3t^2-4t+1=0$

$t={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-12}}{6}}={\displaystyle \frac{4\pm 2}{6}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ t=1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=6\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}-4=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo relativo}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=6\cdot 1-4=2>0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{ı}}\text{nimo relativo}$

El mínimo relativo es además el mínimo absoluto del dominio: de la forma factorizada $f(t)=t(t-1{)}^2$ se deduce que $f(t)\ge 0$ para todo $t>0$, y que la función solo se anula en $t=1$.

$f(1)=1\cdot (1-1{)}^2=0$

La máquina consume la menor cantidad de agua al cabo de $1$ hora de funcionamiento, y en ese instante el consumo es nulo.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{periodos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua.}}$

Se hace un estudio de signos de $f^{\mathrm{\prime }}(t)=(3t-1)(t-1)$ sobre el dominio $t>0$, que los dos puntos críticos parten en tres tramos. Basta evaluar la derivada en un punto de cada uno.

$\{\begin{array}{l}{f}^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{4}\right)=3\cdot \frac{1}{16}-4\cdot \frac{1}{4}+1=\frac{3}{16}>0\\ f^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=3\cdot \frac{1}{4}-4\cdot \frac{1}{2}+1=-\frac{1}{4}<0\\ f^{\mathrm{\prime }}(2)=3\cdot 4-4\cdot 2+1=5>0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& (0,\frac{1}{3})& (\frac{1}{3},1)& (1,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(t)& +& -& +\\ f(t)& \nearrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

El consumo de agua crece en los intervalos $(0,\frac{1}{3})$ y $(1,+\mathrm{\infty })$, y decrece en el intervalo $(\frac{1}{3},1)$.





Los candidatos a punto de inflexión son los que anulan la segunda derivada, y se confirman comprobando que la tercera derivada no se anula en ellos.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 6t-4=0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=6\mathrm{\ne }0\Rightarrow t={\displaystyle \frac{2}{3}}\text{es punto de inflexi}\acute{\text{o}}\text{n}$

Como $\frac{2}{3}>0$, el valor pertenece al dominio y hay que calcular su ordenada.

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)={\displaystyle \frac{2}{3}}{({\displaystyle \frac{2}{3}}-1)}^2={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{2}{27}}$

La función tiene un único punto de inflexión, el $(\frac{2}{3},\frac{2}{27})$, en el que la curva pasa de cóncava a convexa.



Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que primero se despeja la recta dada para leer la suya.

$y-{\displaystyle \frac{7}{4}}t=5\Rightarrow y={\displaystyle \frac{7}{4}}t+5\Rightarrow m={\displaystyle \frac{7}{4}}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada, de modo que se impone esa condición.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{7}{4}}\Rightarrow 3t^2-4t+1={\displaystyle \frac{7}{4}}$

$12t^2-16t+4=7\Rightarrow 12t^2-16t-3=0$

$t={\displaystyle \frac{16\pm \sqrt{256+144}}{24}}={\displaystyle \frac{16\pm 20}{24}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}t=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\\ t={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función, que es $t>0$.

$f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}{({\displaystyle \frac{3}{2}}-1)}^2={\displaystyle \frac{3}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$

Con el punto de tangencia y la pendiente se escribe la recta en forma punto-pendiente.

$y-{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{4}}(t-{\displaystyle \frac{3}{2}})$

$y={\displaystyle \frac{7}{4}}t-{\displaystyle \frac{21}{8}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{7}{4}}t-{\displaystyle \frac{18}{8}}$

La recta tangente a $f(t)$ paralela a la recta dada es $y=\frac{7}{4}t-\frac{9}{4}$, y toca a la curva en el punto $(\frac{3}{2},\frac{3}{8})$.