Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

El coste de producción (en euros) de $x$ unidades de un producto determinado viene dado por la función $C(x)=\mathrm{0,02}{x}^2+3x+100$. Estas unidades se ponen a la venta y el precio de venta unitario (en euros) depende del número de unidades producidas $x$. Concretamente, viene dado por la función $p(x)=47-\mathrm{0,06}x$. Suponemos que se venden todas las unidades que se producen.

a) Determine la función que da los beneficios obtenidos en función del número de unidades producidas $x$. [1,25 puntos]

b) Determine cuántas unidades hay que producir para obtener el beneficio máximo y diga cuál es este beneficio. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{producidas}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los costes. Los ingresos se obtienen multiplicando el número de unidades vendidas por el precio unitario, que también depende de $x$.

$I(x)=x\cdot p(x)=x(47-\mathrm{0,06}x)=47x-\mathrm{0,06}{x}^2$

$B(x)=I(x)-C(x)=47x-\mathrm{0,06}{x}^2-(\mathrm{0,02}{x}^2+3x+100)$

$B(x)=47x-\mathrm{0,06}{x}^2-\mathrm{0,02}{x}^2-3x-100$

$B(x)=-\mathrm{0,08}{x}^2+44x-100$

La función de beneficios en función de las unidades producidas es $B(x)=-\mathrm{0,08}{x}^2+44x-100$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{diga}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función de beneficios y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,16}x+44$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -\mathrm{0,16}x+44=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{44}{\mathrm{0,16}}}=275$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,16}\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(275)=-\mathrm{0,16}<0$

$B(275)=-\mathrm{0,08}\cdot {275}^2+44\cdot 275-100$

$B(275)=-6050+12100-100=5950$

Hay que producir $275$ unidades para obtener el beneficio máximo, que es de $5950$ €.