Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Una agricultora contrata a un conductor para que lleve un tractor hasta un pueblo que se encuentra a 300 km de distancia. Sabemos que el gasoil que utiliza el tractor cuesta 1,96 € por litro y que el conductor cobra 14,70 € la hora. Supongamos que el conductor hará todo el trayecto a una velocidad constante y que el consumo de gasoil (en litros por hora), en función de la velocidad $x$ (en kilómetros por hora), viene dado por la función $G(x)=5+{\displaystyle \frac{x^2}{98}}$.

a) Calcule el tiempo que tardará el conductor en hacer el viaje y el coste total del viaje si el tractor hace todo el recorrido a 40 km/h (la velocidad máxima permitida para este tipo de vehículo). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como $C(x)={\displaystyle \frac{7.350}{x}}+6x$. [1,25 puntos]

b) Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es este coste? [1,25 puntos]

Como el trayecto se hace a velocidad constante, el tiempo empleado es el cociente entre la distancia y la velocidad.

$t={\displaystyle \frac{300}{x}}$

$t(40)={\displaystyle \frac{300}{40}}=\mathrm{7,5}\text{ h}$

El coste total tiene dos partidas: el gasoil consumido y el sueldo del conductor. Para el gasoil, el consumo por hora a $40$ km/h es:

$G(40)=5+{\displaystyle \frac{{40}^2}{98}}=5+{\displaystyle \frac{1600}{98}}={\displaystyle \frac{1045}{49}}\approx \mathrm{21,33}\text{ l/h}$

$\text{Litros}=G(40)\cdot t(40)={\displaystyle \frac{1045}{49}}\cdot \mathrm{7,5}={\displaystyle \frac{15675}{98}}\approx \mathrm{159,95}\text{ l}$

$\text{Coste del gasoil}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{15675}{98}}=\mathrm{313,50}\text{ €}$

$\text{Coste del conductor}=\mathrm{14,70}\cdot \mathrm{7,5}=\mathrm{110,25}\text{ €}$

$\text{Coste total}=\mathrm{313,50}+\mathrm{110,25}=\mathrm{423,75}\text{ €}$

Se repite el mismo razonamiento dejando la velocidad como variable. El coste del gasoil es el precio del litro por los litros consumidos, y los litros consumidos son el consumo horario por el tiempo de viaje.

$C(x)=\mathrm{1,96}\cdot G(x)\cdot t+\mathrm{14,70}\cdot t=\mathrm{1,96}(5+{\displaystyle \frac{x^2}{98}}){\displaystyle \frac{300}{x}}+\mathrm{14,70}\cdot {\displaystyle \frac{300}{x}}$

$C(x)=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{1500}{x}}+\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{300x}{98}}+{\displaystyle \frac{4410}{x}}$

$C(x)={\displaystyle \frac{2940}{x}}+6x+{\displaystyle \frac{4410}{x}}={\displaystyle \frac{7350}{x}}+6x$

Se comprueba que la expresión obtenida devuelve el mismo coste calculado antes:

$C(40)={\displaystyle \frac{7350}{40}}+6\cdot 40=\mathrm{183,75}+240=\mathrm{423,75}\text{ €}$

A $40$ km/h el viaje dura $\mathrm{7,5}$ horas y el coste total del viaje es la función $C(x)={\displaystyle \frac{7350}{x}}+6x$, que a esa velocidad vale $\mathrm{423,75}$ €.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hace}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{coste?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Se trata de minimizar la función de coste, definida para $x>0$. Derivamos e igualamos a cero.

$C(x)=7350x^{-1}+6x$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{7350}{x^2}}+6$

$C^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{7350}{x^2}}=6\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{7350}{6}}=1225\Rightarrow x=\pm 35$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función.

Comprobamos con la segunda derivada que en $x=35$ hay un mínimo.

$C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{14700}{x^3}}\Rightarrow C^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(35)={\displaystyle \frac{14700}{{35}^3}}={\displaystyle \frac{12}{35}}>0$

Como es el único extremo y la segunda derivada es positiva en todo el dominio, el mínimo relativo es también el mínimo absoluto.

$C(35)={\displaystyle \frac{7350}{35}}+6\cdot 35=210+210=420$

El coste del viaje es mínimo si el tractor circula a $35$ km/h, y ese coste mínimo es de $420$ €.