Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Un granjero quiere construir un corral rectangular para sus conejos. Sabemos que solo dispone de 40 m lineales de valla metálica.

a) Llamamos $x$ a la anchura del corral e $y$ a su longitud. Escriba la función que permite calcular el área del corral teniendo en cuenta solo la anchura $x$. [1,25 puntos]

b) Calcule en qué punto alcanza su máximo la función que ha encontrado en el apartado anterior. Deduzca cuál ha de ser la anchura $x$ y cuál la longitud $y$ para que el corral tenga el área máxima. ¿Cuál será esta área máxima? [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Llamamos}}\mathit{x}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anchura}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{corral}}\mathbf{\text{e}}\mathit{y}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{longitud.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{permite}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{corral}}\mathbf{\text{teniendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anchura}}\mathit{x}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El corral es un rectángulo de lados $x$ e $y$, así que su área es el producto de los dos lados.

$A=xy$



Para expresar el área en función de una sola variable hay que buscar la relación entre $x$ e $y$, y esa relación la da la valla disponible: los cuatro lados del rectángulo suman 40 metros.

$2x+2y=40\Rightarrow x+y=20\Rightarrow y=20-x$

Sustituimos en el área:

$A(x)=x(20-x)=20x-x^2$

El área del corral en función de la anchura es $A(x)=20x-x^2$ metros cuadrados, con $0<x<20$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{encontrado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{anchura}}\mathit{x}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathit{y}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{corral}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{esta}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función área y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=20-2x$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 20-2x=0\Rightarrow x=10$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(10)=-2<0$

Con la anchura obtenida se calcula la longitud y el área:

$y=20-10=10$

$A(10)=20\cdot 10-{10}^2=200-100=100$

El área es máxima cuando el corral es un cuadrado de $10$ m de lado ($x=y=10$), y esa área máxima es de $100{\text{m}}^2$.