Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 3. (2,5 puntos) La función de coste de una empresa es $C(q)=q^3+3q+10$, donde $q$ representa las unidades producidas. Sabiendo que el precio de venta, en euros, de cada unidad producida es $p=30$, se desea conocer:

a) La función de beneficio de esta empresa. (0,5 puntos)

b) El número de unidades producidas que maximiza el beneficio de la empresa. Razone su resultado. (1,5 puntos)

c) El beneficio máximo que puede lograr la empresa. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{empresa.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste, y el ingreso es el precio por las unidades vendidas.

$I(q)=p\cdot q=30q$

$B(q)=I(q)-C(q)=30q-(q^3+3q+10)$

$B(q)=-q^3+27q-10$

La función de beneficio de la empresa es $B(q)=-q^3+27q-10$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{producidas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{resultado.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=-3q^2+27=0\Rightarrow q^2=9\Rightarrow q=\pm 3$

Se descarta la solución negativa por no tener sentido económico: $q$ es un número de unidades producidas. Se clasifica el punto crítico restante con la segunda derivada.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)=-6q\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=-18<0$



El beneficio es máximo produciendo $3$ unidades.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{lograr}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$B(3)=-27+81-10=44$

El beneficio máximo que puede lograr la empresa es de $44$ euros.