Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 2 - Cuestión 2. (3 puntos)

El beneficio mensual en euros de la hamburguesería Jamburguer, que el verano pasado abrió sus puertas en un conocido centro comercial de Murcia, viene dado por:
$B(x)=144x-\mathrm{0,1}{x}^2-50000$
donde $x$ es el número de hamburguesas vendidas mensualmente.

a) Si actualmente Jamburguer vende 750 hamburguesas al mes, ¿obtendrá pérdidas o ganancias? [0,5 puntos]
b) Evalúa e interpreta la primera derivada de $B(x)$ en $x=750$ ¿Qué recomendarías al propietario? [0,5 puntos]
c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de $B(x)$. [1 punto]
d) Determina el número de hamburguesas que maximiza el beneficio mensual de esta hamburguesería. [0,75 puntos]
e) ¿Cuál es el beneficio máximo mensual? [0,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{actualmente}}\mathbf{\text{Jamburguer}}\mathbf{\text{vende}}\mathbf{\text{750}}\mathbf{\text{hamburguesas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mes,}}\mathbf{\text{¿obtendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{ganancias?}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Basta valorar la función de beneficio en $x=750$.

$B(750)=144\cdot 750-\mathrm{0,1}\cdot {750}^2-50000$

$B(750)=108000-56250-50000=1750$

Al ser positivo, con $750$ hamburguesas al mes la hamburguesería obtiene ganancias de $1750$ euros.



$B^{\mathrm{\prime }}(x)=144-\mathrm{0,2}x$

$B^{\mathrm{\prime }}(750)=144-150=-6$

La derivada es la tasa de variación instantánea del beneficio. Al ser negativa, cada hamburguesa que se vende por encima de las $750$ hace bajar el beneficio unos $6$ euros: se recomendaría al propietario reducir la producción, porque ya se ha pasado del nivel de máximo beneficio.



Se anula la derivada para localizar el punto crítico.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=144-\mathrm{0,2}x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{144}{\mathrm{0,2}}}=720$

Como la derivada es una recta decreciente, es positiva antes de $720$ y negativa después; el dominio del problema empieza en $x=0$ hamburguesas.



El beneficio crece en $(0,720)$ y decrece en $(720,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{hamburguesas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{hamburgueser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

El único punto crítico es $x=720$. Se confirma con la segunda derivada.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,2}<0$

Al ser la segunda derivada negativa, la función presenta un máximo: el beneficio mensual se maximiza vendiendo $720$ hamburguesas.

$\mathbf{\text{e)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{mensual?}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

$B(720)=144\cdot 720-\mathrm{0,1}\cdot {720}^2-50000$

$B(720)=103680-51840-50000=1840$

El beneficio máximo mensual es de $1840$ euros, alcanzado al vender $720$ hamburguesas.