Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 3. (2,5 puntos) La función de costes de una empresa $C(q)=q^2-16q+48$, donde $q$ es el coste unitario de cada producto. Si la ecuación de demanda viene dada por la expresión $p=12-q$, donde $p$ es el precio unitario de venta. Determine:
a) La función de beneficios de la empresa en función del nivel de producción. (0,5 puntos)
b) El nivel de producción, $q$, para el que se maximiza la función de beneficios de la empresa. (1 punto)
c) El precio para el que se obtendría el máximo beneficio. (0,5 puntos)
d) El valor del beneficio máximo. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste, y el ingreso es el precio por las unidades vendidas.

$I(q)=p\cdot q=(12-q)q=12q-q^2$

$B(q)=I(q)-C(q)=12q-q^2-(q^2-16q+48)$

$B(q)=-2q^2+28q-48$

La función de beneficios de la empresa es $B(q)=-2q^2+28q-48$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathit{q}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}(1\text{ punto})$

Se anula la derivada para localizar el punto crítico.

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=-4q+28=0\Rightarrow q=7$

Se confirma con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)=-4<0$



El beneficio se maximiza con un nivel de producción de $7$ unidades.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$p=12-q=12-7=5$

El precio de venta que produce el máximo beneficio es de $5$ euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$B(7)=-98+196-48=50$

El beneficio máximo es de $50$ euros, con una producción de $7$ unidades a $5$ euros cada una.