Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 3. (2,5 puntos) La función de coste de una empresa es $C(q)=q^2-18q+14$, donde $q$ representa las unidades producidas. Sabiendo que el precio de venta, en euros, está relacionado con las unidades producidas según la ecuación de demanda $p=10-q$, se desea conocer:

a) La función de beneficio de esta empresa. (0,5 puntos)

b) El nivel de producción que maximiza el beneficio de la empresa. Razone su resultado. (1 punto)

c) El precio de venta óptimo. (0,5 puntos)

d) El beneficio máximo que puede lograr la empresa. (0,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{empresa.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

El beneficio es la diferencia entre el ingreso y el coste, y el ingreso es el producto del precio por las unidades vendidas.

$I(q)=p\cdot q=(10-q)q=10q-q^2$

$B(q)=I(q)-C(q)=10q-q^2-(q^2-18q+14)$

$B(q)=-2q^2+28q-14$

La función de beneficio de la empresa es $B(q)=-2q^2+28q-14$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{maximiza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{resultado.}}(1\text{ punto})$

Se anula la derivada para localizar el punto crítico.

$B^{\mathrm{\prime }}(q)=-4q+28=0\Rightarrow q=7$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(q)=-4<0$



El beneficio es máximo produciendo $7$ unidades.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ptimo.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Basta sustituir el nivel óptimo en la ecuación de demanda.

$p=10-q=10-7=3$

El precio de venta óptimo es de $3$ euros.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{lograr}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$B(7)=-2\cdot 49+28\cdot 7-14=-98+196-14=84$

El beneficio máximo que puede lograr la empresa es de $84$ euros.