Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 2 - Cuestión B. (3 puntos)

[3 puntos] El famoso rapero Myke Towers ofrecerá un concierto en Murcia el próximo 6 de junio en el Espacio Norte, que durará 5 horas. La asistencia al evento, medida en miles de personas, viene dada por la siguiente función:
$N(t)={\displaystyle \frac{20t}{(t+1{)}^2}}$
donde $0\le t\le 5$ y $N$ es el número de miles de asistentes $t$ horas después del comienzo. Se pide:

a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de la función $N(t)$. [1 punto]
b) Calcula en qué hora se produce el máximo número de asistentes y a cuánto ascienden. [1,25 puntos]
c) Evalúa e interpreta la derivada de la función $N(t)$ en $t=2$. [0,25 puntos]
c) Halla cuántos asistentes hay una vez han transcurrido 3 horas desde el comienzo del concierto. [0,5 puntos]

Se deriva por la regla del cociente y se simplifica sacando factor común $(t+1)$.

$N^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{20(t+1{)}^2-20t\cdot 2(t+1)}{(t+1{)}^4}}={\displaystyle \frac{20(t+1)-40t}{(t+1{)}^3}}={\displaystyle \frac{20(1-t)}{(t+1{)}^3}}$

En el intervalo de trabajo $[0,5]$ el denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $1-t$.

$N^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=1$



La asistencia crece en $(0,1)$ y decrece en $(1,5)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{asistentes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascienden.}}(\mathrm{1,25}\text{ puntos})$

Por el criterio de la primera derivada, en $t=1$ la función pasa de crecer a decrecer, luego ahí hay un máximo.

$N(1)={\displaystyle \frac{20\cdot 1}{(1+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{20}{4}}=5$

Como $N$ se mide en miles de personas, el máximo se alcanza una hora después del comienzo, con $5000$ asistentes.



$N^{\mathrm{\prime }}(2)={\displaystyle \frac{20(1-2)}{(2+1{)}^3}}={\displaystyle \frac{-20}{27}}\approx -\mathrm{0,74}$

La derivada es la tasa de variación instantánea. Al ser negativa, dos horas después del comienzo la asistencia está bajando: en la hora siguiente se marchan del concierto unas $740$ personas.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{asistentes}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{vez}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{transcurrido}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{comienzo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{concierto.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Basta valorar la función en $t=3$.

$N(3)={\displaystyle \frac{20\cdot 3}{(3+1{)}^2}}={\displaystyle \frac{60}{16}}=\mathrm{3,75}$

Transcurridas tres horas desde el comienzo del concierto quedan $3750$ asistentes.