Examen de Matemáticas CCSS de Región de Murcia 2021 (convocatoria ordinaria)

Cuestión 1. (2,5 puntos) Discutir el sistema lineal de ecuaciones en función de los valores del parámetro $a$:

$\{\begin{array}{l}x+3y+z=5\\ ax+2z=0\\ ay-z=a\end{array}$

Resolverlo para $a=1$.

Cuestión 2. (2,5 puntos) En un terreno en la huerta de Beniel se quieren plantar dos tipos distintos de naranjos: A y B. No se puede cultivar más de 8 hectáreas con naranjos de tipo A ni más de 10 hectáreas con naranjos de tipo B. Cada hectárea de naranjos de tipo A necesita $4{\text{m}}^3$ de agua anuales y cada una de tipo B, $3{\text{m}}^3$. Se dispone anualmente de $45{\text{m}}^3$ de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de $500$ € y cada una de tipo B, $225$ €. Se dispone de $4575$ € para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de naranjos de tipo A y B producen, respectivamente, $500$ y $300$ kilos anuales de naranjas:

a) Calcular las hectáreas de cada tipo de naranjo que se deben plantar para maximizar la producción de naranjas. Razone la respuesta.
b) Obtener la producción máxima.

Cuestión 3. (2,5 puntos) El coste de producción de $x$ unidades de un determinado producto viene dado por la función $C(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2+35x+25$ y su precio de venta es: $p=50-{\displaystyle \frac{x}{4}}$ euros. Hallar:

a) El número de unidades que debe venderse diariamente para que el beneficio sea máximo.
b) El precio al que deben venderse las unidades obtenidas en el apartado a).
c) El beneficio máximo.

Cuestión 4. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=a{x}^3+bx+c$, calcular el valor de $a$, $b$ y $c$ para que:

a) La función pase por el origen de coordenadas y tenga en el punto $(1,-1)$ un mínimo local.
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Cuestión 5. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola $f(x)=-x^2+4x+3$ y la recta $g(x)=3+x$. Calcular su área.

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}$:

a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto $x=0$ (1 punto).
b) Calcular ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}dx}$ (1 punto).
c) Calcular ${\displaystyle {\int }_1^2{\displaystyle \frac{2x}{x^2+1}}dx}$ (0,5 puntos).

Cuestión 7. (2,5 puntos) En un viaje de estudios el $52\mathrm{\%}$ de los jóvenes son hombres. De ellos el $35\mathrm{\%}$ son rubios así como el $40\mathrm{\%}$ de las mujeres. Si elegimos a un estudiante al azar:

a) Calcule la probabilidad de que sea rubio. (1 punto)
b) Sabiendo que NO es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1,5 puntos)

Cuestión 8. (2,5 puntos) Alex y Fran son dos amigos que practican asiduamente en las pistas de baloncesto. La probabilidad de que Alex enceste un tiro libre es del $65\mathrm{\%}$ y de que lo haga Fran es del $48\mathrm{\%}$. Dado que los dos sucesos son independientes, calcule la probabilidad de los siguientes sucesos al lanzar un tiro libre:

a) Ambos enceste un tiro libre. (1 punto)
b) Solo Alex encesta la pelota. (1 punto)
c) Al menos uno de ellos encesta la pelota. (0,5 puntos)