Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 7. (2,5 puntos) En un viaje de estudios el $52\mathrm{\%}$ de los jóvenes son hombres. De ellos el $35\mathrm{\%}$ son rubios así como el $40\mathrm{\%}$ de las mujeres. Si elegimos a un estudiante al azar:

a) Calcule la probabilidad de que sea rubio. (1 punto)
b) Sabiendo que NO es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? (1,5 puntos)

Llamamos $H$ y $M$ a los sucesos «ser hombre» y «ser mujer», y $R$ al suceso «ser rubio». Los datos del enunciado se organizan en un diagrama de árbol.



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{rubio.}}(1\text{ punto})$

Los sucesos $H$ y $M$ forman un sistema completo, así que se aplica el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(H)P(R\mid H)+P(M)P(R\mid M)$

$P(R)=\mathrm{0,52}\cdot \mathrm{0,35}+\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,182}+\mathrm{0,192}=\mathrm{0,374}$

La probabilidad de que el estudiante elegido sea rubio es $\mathrm{0,374}$, es decir, un $\mathrm{37,4}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{NO}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{rubio,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{mujer?}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Es una probabilidad a posteriori: se aplica el teorema de Bayes sobre el suceso contrario.

$P(M\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{P(M)P(\bar{R}\mid M)}{P(\bar{R})}}$

$P(\bar{R}\mid M)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6};P(\bar{R})=1-\mathrm{0,374}=\mathrm{0,626}$

$P(M\mid \bar{R})={\displaystyle \frac{\mathrm{0,48}\cdot \mathrm{0,6}}{\mathrm{0,626}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,288}}{\mathrm{0,626}}}\approx \mathrm{0,4601}$

Entre los estudiantes que no son rubios, la probabilidad de que se trate de una mujer es $\mathrm{0,4601}$.