Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 8. (2,5 puntos)
a) Sean $A$ y $B$ dos sucesos independientes, tales que $P(A)=\mathrm{0,3}$ y $P(A\cap B)=\mathrm{0,12}$:
i. Calcular $P(B)$. (0,5 puntos)
ii. Calcular $P(A\cup B)$. (0,5 puntos)
iii. Calcular $P(A\cap B^c)$. (0,5 puntos)
iv. Calcular $P(A^c\cap B^c)$. (0,5 puntos)
b) En una estación del AVE, el tiempo que tarda un viajero para acceder al tren desde que llega a la estación es una variable que sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 2 minutos. Se tomó una muestra aleatoria de 50 viajeros, y se observó que el tiempo medio de espera era de 16 minutos. Halla un intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo de espera de la maleta en este aeropuerto con un nivel de confianza del 90 \%. (1,5 puntos).

Los sucesos son independientes, de modo que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.



$P(A\cap B)=P(A)P(B)\Rightarrow P(B)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,3}}}=\mathrm{0,4}$

La probabilidad del suceso $B$ es $\mathrm{0,4}$.



$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,58}$

La probabilidad de que ocurra alguno de los dos sucesos es $\mathrm{0,58}$.



El suceso $A$ se descompone en la parte que está en $B$ y la que no.

$P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad de que ocurra $A$ y no $B$ es $\mathrm{0,18}$, resultado que también se obtiene de la independencia, $\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,6}$.



Por las leyes de De Morgan, que no ocurra ninguno es el suceso contrario de la unión.

$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,58}=\mathrm{0,42}$

La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos es $\mathrm{0,42}$.



El intervalo de confianza para la media con $\sigma$ conocida es

$IC(\mu )=(\bar{x}-z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\bar{x}+z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para el $90\mathrm{\%}$ se tiene $\alpha \mathrm{/}2=\mathrm{0,05}$ y, en la tabla de la normal estándar, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$.

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{50}}}=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{0,2828}\approx \mathrm{0,465}$

$IC(\mu )=(16-\mathrm{0,465},16+\mathrm{0,465})=(\mathrm{15,535};\mathrm{16,465})$

Con un $90\mathrm{\%}$ de confianza, el tiempo medio de espera está entre $\mathrm{15,535}$ y $\mathrm{16,465}$ minutos.