Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 5. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola $f(x)=-x^2+4x+3$ y la recta $g(x)=3+x$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$-x^2+4x+3=3+x\Rightarrow -x^2+3x=0\Rightarrow -x(x-3)=0$

$x=0;x=3$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=1$.

$f(1)=6>g(1)=4$

La parábola queda por encima de la recta en todo el intervalo $[0,3]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_0^3[(-x^2+4x+3)-(3+x)]dx={\int }_0^3(-x^2+3x)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}]}_0^3=-9+{\displaystyle \frac{27}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.