Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 6. (2,5 puntos) Represente gráficamente el recinto del plano limitado por las parábolas $f(x)=-x^2+2x+4$ y $g(x)=x^2-4x+4$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos parábolas.

$-x^2+2x+4=x^2-4x+4\Rightarrow 2x^2-6x=0\Rightarrow 2x(x-3)=0$

$x=0;x=3$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=1$.

$f(1)=5>g(1)=1$

La parábola $f$ queda por encima de $g$ en todo el intervalo $[0,3]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_0^3[(-x^2+2x+4)-(x^2-4x+4)]dx={\int }_0^3(-2x^2+6x)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}+3x^2]}_0^3=-18+27$

$A=9$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es de $9$ unidades de área.