Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 7. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=4x-x^2$:
a) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la función $f(x)$, el eje OX y las rectas $x=1$ y $x=3$ (1 punto).
b) Calcule el área del recinto del apartado anterior. (1,5 puntos).

Factorizando se ve enseguida la forma de la parábola: tiene las ramas hacia abajo y corta al eje $OX$ en sus dos raíces.

$f(x)=4x-x^2=x(4-x)\Rightarrow x=0;x=4$

El vértice está en el punto medio de las raíces, $x=2$, con $f(2)=4$. El recinto queda limitado por arriba por la parábola y por abajo por el eje $OX$, entre las dos rectas verticales.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

El intervalo $[1,3]$ está comprendido entre las dos raíces, así que la parábola es positiva en él y el área coincide con la integral definida.

$A={\int }_1^3(4x-x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[2x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_1^3=(18-9)-(2-{\displaystyle \frac{1}{3}})$

$A=9-{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{22}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{22}{3}}\approx \mathrm{7,33}$ unidades de área.