Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 7. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}$

a) Calcular $\int f(x)dx$ (1 punto)

b) Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $x=1$ y $x=e$ (1,5 puntos).

El factor ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ es la derivada de $\ln x$, así que se resuelve por cambio de variable.

$u=\ln x\Rightarrow du={\displaystyle \frac{1}{x}}dx$

$\int {\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}dx=\int 2udu=u^2+C$

Deshaciendo el cambio, la primitiva es ${\ln }^{2}x+C$, como se comprueba derivando.



Antes de integrar se estudia el signo de la función: en $[1,e]$ es $x>0$ y $\ln x\ge 0$, luego la gráfica queda por encima del eje $OX$ y el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_1^e{\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

$A=[{\ln }^{2}x{]}_1^e=1^2-0^2=1$

El área de la región pedida es de $1$ unidad de área.