Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 3 - Cuestión A. (2 puntos)

[2 puntos] Realiza:

a) Si ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$, ¿a qué es igual ${\int }_0^2[f(x)+3]dx$? [0,25 puntos]
b) Representa gráficamente el recinto del plano limitado por $f(x)=x^2$ y $g(x)=2x+3$. Calcula su área. [1,75 puntos]

Por la linealidad de la integral definida, la integral de la suma es la suma de las integrales.

${\int }_0^2[f(x)+3]dx={\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_0^{2}3dx$

El primer sumando es el dato del enunciado y el segundo, la integral de una constante.

${\int }_0^{2}3dx=[3x{]}_0^2=6$

${\int }_0^2[f(x)+3]dx=4+6=10$

La integral pedida vale $10$.



Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$x^2=2x+3\Rightarrow x^2-2x-3=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}$

$x=-1;x=3$

Los puntos de corte son $(-1,1)$ y $(3,9)$. En un punto interior, por ejemplo $x=0$, se cumple $g(0)=3>f(0)=0$: la recta queda por encima de la parábola en todo el recinto.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_{-1}^3[(2x+3)-x^2]dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x]}_{-1}^3=9-(-{\displaystyle \frac{5}{3}})$

$A={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.