Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 3 - Cuestión 2. (2 puntos)

Realiza:

a) Calcula ${\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{1}{x}}+3\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x})dx}$. [0,25 puntos]
b) Calcula el área limitada por la función $f(x)=4-x^2$, el eje $OX$ y las rectas $x=-1$ y $x=1$. [1,75 puntos]

Por la linealidad, la integral se descompone en tres inmediatas: logarítmica, potencial y exponencial.

$\int {\displaystyle \frac{1}{x}}dx=\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$

$\int 3x^{1\mathrm{/}2}dx=3\cdot {\displaystyle \frac{x^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}=2\sqrt{x^3}$

En la exponencial se divide entre la derivada del exponente, que es $3$.

$\int {\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x}dx={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x}={\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3x}$

$\int ({\displaystyle \frac{1}{x}}+3\sqrt{x}+{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x})dx=\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+2\sqrt{x^3}+{\displaystyle \frac{1}{9}}{e}^{3x}+C$



Antes de integrar se estudia el signo de la función en el intervalo.

$4-x^2=0\Rightarrow x=\pm 2$

Las raíces quedan fuera de $[-1,1]$ y la parábola tiene las ramas hacia abajo, luego $f(x)>0$ en todo el intervalo y el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_{-1}^1(4-x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^1=(4-{\displaystyle \frac{1}{3}})-(-4+{\displaystyle \frac{1}{3}})$

$A={\displaystyle \frac{11}{3}}+{\displaystyle \frac{11}{3}}={\displaystyle \frac{22}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{22}{3}}\approx \mathrm{7,33}$ unidades de área.