Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2026

PROBLEMA 3. (3 puntos) Responde solo a una de las opciones.
(OPCIÓN 3A)

(a) (1,5 puntos) Dibuja el recinto acotado delimitado por las funciones $y=x-1$, $y=2x-2$, $y=x^2-2x+1$.
(b) (1,5 puntos) Calcula el área de dicho recinto.

Para saber dónde se apoya el recinto se cortan las tres curvas dos a dos. Las tres son, respectivamente, una recta, otra recta y una parábola escritas en función de $x-1$, lo que simplifica mucho las cuentas.

$y=x-1;y=2(x-1);y=(x-1{)}^2$

Corte de las dos rectas:

$x-1=2x-2\Rightarrow x=1\Rightarrow y=0\Rightarrow (1,0)$

Corte de la recta $y=x-1$ con la parábola:

$x-1=(x-1{)}^2\Rightarrow (x-1)[(x-1)-1]=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=2\end{array}$

$x=1\Rightarrow y=0;x=2\Rightarrow y=1$

Corte de la recta $y=2x-2$ con la parábola:

$2(x-1)=(x-1{)}^2\Rightarrow (x-1)[(x-1)-2]=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

$x=1\Rightarrow y=0;x=3\Rightarrow y=4$

Las tres curvas pasan a la vez por el punto $(1,0)$, que es por tanto un vértice común. El recinto acotado que encierran entre las tres es el triángulo curvilíneo de vértices $(1,0)$, $(2,1)$ y $(3,4)$: la recta $y=x-1$ lo cierra por abajo entre $x=1$ y $x=2$, la parábola lo cierra por abajo entre $x=2$ y $x=3$, y la recta $y=2x-2$ lo cierra por arriba en todo el intervalo.



$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{recinto.}}$

La frontera superior del recinto es siempre la recta $y=2x-2$, pero la inferior cambia en $x=2$. Por eso el área se calcula como suma de dos integrales definidas, una en cada tramo, restando en cada una la función de abajo a la de arriba.

$A={\int }_1^2[(2x-2)-(x-1)]dx+{\int }_2^3[(2x-2)-(x^2-2x+1)]dx$

Se simplifican los dos integrandos:

$(2x-2)-(x-1)=x-1$

$(2x-2)-(x^2-2x+1)=-x^2+4x-3$

Primera integral, por la regla de Barrow:

${\int }_1^2(x-1)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_1^2=({\displaystyle \frac{4}{2}}-2)-({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)=0-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Segunda integral:

${\int }_2^3(-x^2+4x-3)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2-3x]}_2^3$

$=(-{\displaystyle \frac{27}{3}}+2\cdot 9-3\cdot 3)-(-{\displaystyle \frac{8}{3}}+2\cdot 4-3\cdot 2)=0-(-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Se suman las dos aportaciones:

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{3+4}{6}}={\displaystyle \frac{7}{6}}$

El área del recinto es $\frac{7}{6}\approx \mathrm{1,17}$ unidades de área.