Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Ejercicio 3 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos preguntas, o bien 3.1 o 3.2.

Pregunta 3.1. Considere la función real de variable real

$f(x)=x(x^2+a),$

donde $a>0$ es un parámetro real.

3.1.a) (1 punto) Calcule el valor de $a$ para que la primitiva de $f(x)$, $F(x)$, cumpla que $F(0)=0$ y $F(1)=1$.

3.1.b) (0,5 puntos) Para $a={\displaystyle \frac{3}{2}}$, obtenga el área del recinto delimitado por $f(x)$, el eje horizontal y las rectas verticales $x=0$ y $x=2$.

3.1.c) (1 punto) Halle los valores de $a$ que hacen que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$ sea $1$.

Desarrollamos el producto para integrar término a término.

$f(x)=x(x^2+a)=x^3+ax$

$F(x)=\int (x^3+ax)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{a{x}^2}{2}}+C$

Imponemos las dos condiciones, que fijan primero la constante y después el parámetro.

$F(0)=C=0$

$F(1)={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}=1\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{3}{2}}$

El valor obtenido es positivo, así que es compatible con la condición $a>0$ del enunciado, y la primitiva queda $F(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{3x^2}{4}}$.



Antes de integrar comprobamos el signo de la función en el intervalo, porque el área es la integral del valor absoluto.

$f(x)=x^3+{\displaystyle \frac{3}{2}}x\ge 0\text{para todo }x\ge 0$

Los dos sumandos son no negativos en $[0,2]$, así que la curva no cruza el eje y el área es directamente la integral definida. Haciendo uso de la regla de Barrow con la primitiva anterior:

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^{2}f(x)dx=F(2)-F(0)={\displaystyle \frac{2^4}{4}}+{\displaystyle \frac{3\cdot 2^2}{4}}$

$\acute{\text{A}}\text{rea}=4+3=7$

El área del recinto es de 7 unidades de área.





La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en ese punto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+a$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)=3+a$

$3+a=1\Rightarrow a=-2$

El único valor que hace la pendiente igual a 1 es $a=-2$, que no cumple la condición $a>0$ del enunciado. Dentro del dominio permitido no existe ninguna solución, pues con $a>0$ se tiene siempre $f^{\mathrm{\prime }}(1)=3+a>3$.