Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+8$.

a) Encuentre los puntos de la gráfica en los cuales la recta tangente es paralela a la recta $3x+4y+5=0$. [4 puntos]

b) Calcule las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos encontrados en el apartado anterior. [2 puntos]

c) Calcule el área comprendida entre la gráfica de la función $f(x)$ y las rectas $x=2$, $x=4$ e $y=0$. [4 puntos]

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, así que lo primero es despejar la recta dada en forma explícita para leer la suya.

$3x+4y+5=0\Rightarrow 4y=-3x-5\Rightarrow y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{5}{4}}$

$m=-{\displaystyle \frac{3}{4}}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada, de modo que hay que resolver $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3\mathrm{/}4$.

$f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+8=3x^{-1}+8\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^{-2}=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$

$-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{3}{x^2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

Las dos soluciones son válidas, porque el dominio de la función es $\mathbb{R}-\{0\}$ y ninguna de las dos es cero. Calculamos las ordenadas.

$f(2)={\displaystyle \frac{3}{2}}+8={\displaystyle \frac{19}{2}}=\mathrm{9,5}$

$f(-2)={\displaystyle \frac{3}{-2}}+8={\displaystyle \frac{13}{2}}=\mathrm{6,5}$

Los puntos pedidos son $(2;\mathrm{9,5})$ y $(-2;\mathrm{6,5})$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{tangentes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{encontrados}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se usa la forma punto-pendiente con la pendiente común $-3\mathrm{/}4$.

En el punto $(2;\mathrm{9,5})$:

$y-{\displaystyle \frac{19}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}(x-2)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{19}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+11$

En el punto $(-2;\mathrm{6,5})$:

$y-{\displaystyle \frac{13}{2}}=-{\displaystyle \frac{3}{4}}(x+2)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{13}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{4}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+5$

Las dos rectas tangentes son $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+11$ e $y=-{\displaystyle \frac{3}{4}}x+5$. Son paralelas entre sí y paralelas a la recta del enunciado, como tenía que ser.





Comprobamos primero el signo de la función en el intervalo $[2,4]$, que está entero dentro del dominio.

$f(2)=\mathrm{9,5}>0,f(4)={\displaystyle \frac{3}{4}}+8=\mathrm{8,75}>0$

Para $x>0$ los dos sumandos son positivos, así que el recinto queda por encima del eje de abscisas y el área coincide con la integral definida.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_2^4({\displaystyle \frac{3}{x}}+8)dx$

$\int {\displaystyle \frac{3}{x}}dx=3\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+C,\int 8dx=8x+C$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={[3\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+8x]}_2^4=(3\ln 4+32)-(3\ln 2+16)$

$=3(\ln 4-\ln 2)+16=3\ln {\displaystyle \frac{4}{2}}+16=3\ln 2+16$

$\ln 2\approx \mathrm{0,6931}\Rightarrow \acute{\text{A}}\text{rea}\approx 3\cdot \mathrm{0,6931}+16=\mathrm{2,079}+16$

$\acute{\text{A}}\text{rea}\approx \mathrm{18,08}\text{unidades de }\acute{\text{a}}\text{rea}$

El área pedida es $3\ln 2+16\approx \mathrm{18,08}$ unidades de área.