Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Consideremos una función $f(x)$ tal que su primera derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+bx+4$, en la que $b$ es un parámetro real.

a) Determine el valor de $b$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=-1$ y razone si se trata de un máximo o de un mínimo. [4 puntos]

b) Suponiendo que $b=1$, encuentre una primitiva de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, es decir, $\int f^{\mathrm{\prime }}(x)dx$. [3 puntos]

c) Utilice la primitiva anterior para encontrar $f(x)$ para $b=1$ sabiendo que $f(2)=-1$. [3 puntos]

En un extremo relativo la derivada se anula, así que la condición es $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0$.

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=(-1{)}^3+b(-1)+4=-1-b+4=3-b$

$3-b=0\Rightarrow b=3$

Con ese valor la derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+3x+4$. Para clasificar el extremo se usa la segunda derivada, que se obtiene derivando la expresión de $f^{\mathrm{\prime }}$.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+3$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=3\cdot 1+3=6>0$

Al ser la segunda derivada positiva, en $x=-1$ hay un mínimo relativo. Se ve igual de bien con el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$, que factoriza así:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+3x+4=(x+1)(x^2-x+4)$

El segundo factor no tiene raíces reales, porque su discriminante es $1-16=-15<0$, y es siempre positivo; por tanto el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ es el de $x+1$.

$\text{Si }x=-2,f^{\mathrm{\prime }}(-2)=-8-6+4=-10<0$

$\text{Si }x=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=4>0$



La función pasa de decrecer a crecer en $x=-1$, lo que confirma que se trata de un mínimo relativo, y además es el único extremo de la función.



Con $b=1$ la derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=x^3+x+4$, y se integra término a término con la regla de la potencia.

$\int x^{n}dx={\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}+C$

$\int (x^3+x+4)dx={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x+C$

Las primitivas de $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ son ${\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x+C$, una para cada valor de la constante $C$.



La función $f$ es una de esas primitivas, y la condición $f(2)=-1$ es la que fija cuál. Sustituimos.

$f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x+C$

$f(2)={\displaystyle \frac{16}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{2}}+8+C=4+2+8+C=14+C$

$14+C=-1\Rightarrow C=-15$

$f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x-15$

Comprobamos las dos condiciones: la derivada y el valor en $x=2$.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x^3}{4}}+{\displaystyle \frac{2x}{2}}+4=x^3+x+4$

$f(2)=4+2+8-15=-1$

La función buscada es $f(x)={\displaystyle \frac{x^4}{4}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+4x-15$.