Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

En un muro del paseo marítimo se debe recubrir con lona la superficie determinada por $y\le {\displaystyle \frac{-x^2+9}{3}}$, $x\ge 0$ e $y\ge 0$ (las unidades se miden en metros).

a) Representar dicha superficie. [0,75 puntos]

b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la superficie? [1,25 puntos]

c) El precio del metro cuadrado de lona es de 20 euros y, al hacer la instalación, se debe usar un 15 % más de la superficie a cubrir. Además, el coste de instalación es de 5 euros por metro cuadrado de lona adquirida. ¿Cuánto cuesta recubrir la superficie? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{superficie.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La superficie que hay que recubrir es la parte del primer cuadrante que queda por debajo de la parábola $y={\displaystyle \frac{-x^2+9}{3}}$. Localizamos sus cortes con los ejes.

$x=0\Rightarrow y={\displaystyle \frac{9}{3}}=3$

$y=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{-x^2+9}{3}}=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm 3$

Como se pide $x\ge 0$, el recinto va de $x=0$ a $x=3$, limitado por arriba por la parábola y por abajo por el eje de abscisas.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{metros}}\mathbf{\text{cuadrados}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Como la parábola queda por encima del eje $OX$ en todo el intervalo, el área es directamente la integral definida.

$A={\int }_0^3{\displaystyle \frac{-x^2+9}{3}}dx={\int }_0^3(3-{\displaystyle \frac{x^2}{3}})dx$

$A={[3x-{\displaystyle \frac{x^3}{9}}]}_0^3=(9-{\displaystyle \frac{27}{9}})-0=9-3=6$

La superficie que hay que recubrir mide $6{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lona}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{instalaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{usar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cubrir.}}\mathbf{\text{Adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{instalaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lona}}\mathbf{\text{adquirida.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{recubrir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay que comprar un 15 % más de lona que la superficie del muro.

$S=6\cdot \mathrm{1,15}=\mathrm{6,9}{\text{m}}^2$

Tanto la lona como la instalación se pagan sobre la lona adquirida, así que se suman los dos precios por metro cuadrado.

$C=\mathrm{6,9}\cdot 20+\mathrm{6,9}\cdot 5=\mathrm{6,9}\cdot 25=\mathrm{172,5}\text{ €}$

Recubrir la superficie cuesta $\mathrm{172,5}$ euros.