Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

El ayuntamiento de un pueblo ha construido una pista de hielo provisional cuya gráfica está limitada por las rectas $r_1:x=0$, $r_2:x=50$, $r_3:y=45$ y la parábola $f:y=-{\displaystyle \frac{1}{125}}{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{5}}x$. Si se mide en metros:

a) Dibujar la gráfica. Calcular el volumen de agua en ${\text{m}}^3$ que se necesita para llenar la pista sabiendo que la profundidad del agua es de 7 cm (0,07 metros).

b) El consumo eléctrico mensual para mantener congelada la pista es de 28 Kwh/m². El precio del Kwh es de 0,13 €/Kwh. Calcular el coste de mantener la pista congelada durante un mes.

c) Aparte del coste del consumo eléctrico, la gestión de la pista (mantenimiento, alquiler del terreno, salario de los empleados, etc.) tiene un coste fijo mensual de 5000 €; hay además un coste variable debido a averías, fugas de agua, días de calor… Si se espera que acudan a patinar 600 personas al mes, calcular cuál debe ser el precio de la entrada para cubrir todos los costes mensuales, suponiendo que los costes variables alcanzan un 25 % de los costes fijos de gestión.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibujar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{en}}\mathrm{<msup><mtext>m</mtext><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msup>}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{necesita}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{llenar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{profundidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{agua}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{(0,07}}\mathbf{\text{metros).}}$

La pista es la región limitada por arriba por la recta $y=45$, por los lados por $x=0$ y $x=50$, y por abajo por la parábola. Localizamos los puntos notables de la parábola.

$f(0)=0f(50)=-{\displaystyle \frac{2500}{125}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot 50=-20+20=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{2x}{125}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}=0\Rightarrow x=25\Rightarrow f(25)=-5+10=5$

La parábola arranca en el origen, alcanza su vértice en $(25,5)$ y vuelve a cortar al eje en $x=50$.



El área de la pista es la del rectángulo menos la que queda bajo la parábola.

$A_{\text{rect}}=50\cdot 45=2250{\text{m}}^2$

${\int }_0^{50}(-{\displaystyle \frac{x^2}{125}}+{\displaystyle \frac{2x}{5}})dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{375}}+{\displaystyle \frac{x^2}{5}}]}_0^{50}=-{\displaystyle \frac{125000}{375}}+500$

$=-{\displaystyle \frac{1000}{3}}+500={\displaystyle \frac{500}{3}}\approx \mathrm{166,67}{\text{m}}^2$

$A=2250-{\displaystyle \frac{500}{3}}={\displaystyle \frac{6250}{3}}\approx \mathrm{2083,33}{\text{m}}^2$

El volumen de agua es el área por la profundidad.

$V={\displaystyle \frac{6250}{3}}\cdot \mathrm{0,07}={\displaystyle \frac{\mathrm{437,5}}{3}}\approx \mathrm{145,83}{\text{m}}^3$

Se necesitan unos $\mathrm{145,83}{\text{m}}^3$ de agua para llenar la pista.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{mantener}}\mathbf{\text{congelada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{28}}\mathbf{\text{Kwh/m².}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Kwh}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,13}}\mathbf{\text{€/Kwh.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mantener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{congelada}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mes.}}$

El consumo se paga por metro cuadrado de pista.

$28\cdot {\displaystyle \frac{6250}{3}}={\displaystyle \frac{175000}{3}}\approx 58\mathrm{333,33}\text{ Kwh}$

$C_{\text{el}\acute{\text{e}}\text{ctrico}}={\displaystyle \frac{175000}{3}}\cdot \mathrm{0,13}={\displaystyle \frac{22750}{3}}\approx \mathrm{7583,33}\text{ €}$

Mantener la pista congelada durante un mes cuesta unos $\mathrm{7583,33}$ euros.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Aparte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pista}}\mathbf{\text{(mantenimiento,}}\mathbf{\text{alquiler}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{terreno,}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{empleados,}}\mathbf{\text{etc.)}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{fijo}}\mathbf{\text{mensual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5000}}\mathbf{\text{€;}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{variable}}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{aver}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as,}}\mathbf{\text{fugas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{agua,}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{calor}}\dots \mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{acudan}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{patinar}}\mathbf{\text{600}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mes,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{entrada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cubrir}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{mensuales,}}\mathbf{\text{suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{variables}}\mathbf{\text{alcanzan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{fijos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{gesti}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Sumamos las tres partidas de coste.

$C_{\text{variable}}=\mathrm{0,25}\cdot 5000=1250\text{ €}$

$C=\mathrm{7583,33}+5000+1250=13\mathrm{833,33}\text{ €}$

Para cubrir ese coste con 600 entradas,

$p={\displaystyle \frac{13\mathrm{833,33}}{600}}=\mathrm{23,06}\text{ €}$

El precio de la entrada debe ser de $\mathrm{23,06}$ euros.