Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

La superficie de lona necesaria para fabricar un toldo está delimitada por las funciones:

$y=(x-2{)}^2,y=2x+4$

a) Hacer un dibujo de dicha superficie.

b) Si se mide en metros, calcular el área de la superficie.

c) Si el precio del metro cuadrado de lona es igual a 4 €, ¿cuánto es necesario gastar para hacer tres toldos iguales?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hacer}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{dibujo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{superficie.}}$

La superficie está limitada por la parábola $y=(x-2{)}^2$ y la recta $y=2x+4$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$(x-2{)}^2=2x+4\Rightarrow x^2-4x+4=2x+4\Rightarrow x^2-6x=0$

$x(x-6)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=4\\ x=6\Rightarrow y=16\end{array}$

Entre $x=0$ y $x=6$ la recta queda por encima de la parábola, cuyo vértice está en $(2,0)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{metros,}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie.}}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo entre los puntos de corte.

$A={\int }_0^6[(2x+4)-(x-2{)}^2]dx={\int }_0^6(2x+4-x^2+4x-4)dx$

$A={\int }_0^6(6x-x^2)dx={[3x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^6$

$A=3\cdot 36-{\displaystyle \frac{216}{3}}=108-72=36$

La lona necesaria para un toldo mide $36{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lona}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{gastar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{toldos}}\mathbf{\text{iguales?}}$

$C=3\cdot 36\cdot 4=108\cdot 4=432\text{ €}$

Hacen falta $432$ euros para fabricar los tres toldos.