Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

La empresa XYPERIA ha encargado la construcción de su logotipo corporativo en madera y cobre, tomando como modelo la figura adjunta, que diseñó una empresa contratada para ello. El círculo, que será de madera, está centrado en el punto (0,0) y tiene 2 metros de radio. Las funciones que delimitan el área sombreada son:

$f(x)=x^3-xg(x)=x$



a) La zona sombreada se va a recubrir de cobre, ¿qué superficie tiene esta zona?

b) Teniendo en cuenta que el m² de plancha de cobre se cobra a 60 € y no se desperdicia nada, que el coste de mano de obra es el 30 % de lo que cuesta el cobre, y que el círculo de madera, el transporte y el montaje in situ tienen un coste de fijo 270 €, ¿cuánto deberá pagar XYPERIA por la construcción e instalación de su logotipo corporativo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{sombreada}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{va}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{recubrir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cobre,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{zona?}}$

La zona sombreada está limitada por la cúbica $f(x)=x^3-x$ y la recta $g(x)=x$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$x^3-x=x\Rightarrow x^3-2x=0\Rightarrow x(x^2-2)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{2}\\ x=\sqrt{2}\end{array}$

Las dos funciones son impares, de modo que la figura es simétrica respecto del origen y los dos lóbulos tienen la misma área. Basta calcular el de la derecha y duplicarlo.

Entre $x=0$ y $x=\sqrt{2}$ la recta queda por encima de la cúbica, pues por ejemplo en $x=1$ es $g(1)=1>f(1)=0$.

$A=2{\int }_0^{\sqrt{2}}[x-(x^3-x)]dx=2{\int }_0^{\sqrt{2}}(2x-x^3)dx$

$A=2{[x^2-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^{\sqrt{2}}=2(2-{\displaystyle \frac{4}{4}})=2\cdot 1=2$

La zona sombreada tiene una superficie de $2{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Teniendo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m²}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{plancha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cobre}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{cobra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{€}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desperdicia}}\mathbf{\text{nada,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obra}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{30}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cuesta}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cobre,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{rculo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{transporte}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{montaje}}\mathbf{\text{in}}\mathbf{\text{situ}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fijo}}\mathbf{\text{270}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{pagar}}\mathbf{\text{XYPERIA}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{construcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{e}}\mathbf{\text{instalaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{logotipo}}\mathbf{\text{corporativo?}}$

Valoramos cada partida por separado.

$C_{\text{cobre}}=60\cdot 2=120\text{ €}$

$C_{\text{mano de obra}}=\mathrm{0,30}\cdot 120=36\text{ €}$

$C_{\text{fijo}}=270\text{ €}$

$C=120+36+270=426\text{ €}$

XYPERIA deberá pagar $426$ euros por la construcción e instalación de su logotipo.