Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Un agricultor dispone de un terreno cuya forma coincide con el área limitada entre los ejes de coordenadas y la parábola $f(x)=-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,6}x+130$. El agricultor ha dividido el terreno en tres parcelas A, B y C tal como se muestra en la figura adjunta. Las líneas que dividen las parcelas corresponden, respectivamente, a las rectas $x=80$ e $y=130$ (las distancias se miden en metros).



a) Calcular la superficie de cada parcela.

b) El agricultor dedicará una de las parcelas a plantar trigo, otra a plantar millo y la tercera a plantar cebada. El coste total anual de producción de toda la finca (mano de obra, maquinaria, semillas, agua, transporte, etc.) asciende a 22134 €. Si el trigo le produce un ingreso anual de 4 €/m², el millo 3,5 €/m², y la cebada 2 €/m², ¿qué deberá plantar el agricultor en cada parcela si quiere maximizar su beneficio? ¿Cuál será el beneficio total anual?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{parcela.}}$

Primero comprobamos los datos que delimitan las parcelas. La parábola corta al eje de ordenadas y a la recta $y=130$ en

$f(0)=130f(80)=-\mathrm{0,02}\cdot 6400+\mathrm{1,6}\cdot 80+130=-128+128+130=130$

de modo que la recta $y=130$ corta a la parábola justo en $x=0$ y en $x=80$. Y el terreno acaba donde la parábola corta al eje de abscisas:

$-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,6}x+130=0\Rightarrow x^2-80x-6500=0$

$x={\displaystyle \frac{80\pm \sqrt{6400+26000}}{2}}={\displaystyle \frac{80\pm 180}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=130\\ x=-50\end{array}$

Se descarta la solución negativa. El terreno llega, pues, hasta $x=130$.

La parcela $A$ es el rectángulo de base 80 y altura 130.

$A=80\cdot 130=10400{\text{m}}^2$

La parcela $B$ es la región comprendida entre la parábola y la recta $y=130$, de $x=0$ a $x=80$.

$B={\int }_0^{80}(-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,6}x+130-130)dx={\int }_0^{80}(-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,6}x)dx$

$B={[-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}{x}^3}{3}}+\mathrm{0,8}{x}^2]}_0^{80}=-{\displaystyle \frac{10240}{3}}+5120={\displaystyle \frac{5120}{3}}\approx \mathrm{1706,67}{\text{m}}^2$

La parcela $C$ está bajo la parábola y sobre el eje de abscisas, de $x=80$ a $x=130$.

$C={\int }_{80}^{130}(-\mathrm{0,02}{x}^2+\mathrm{1,6}x+130)dx={[-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,02}{x}^3}{3}}+\mathrm{0,8}{x}^2+130x]}_{80}^{130}$

$C=(-{\displaystyle \frac{43940}{3}}+13520+16900)-(-{\displaystyle \frac{10240}{3}}+5120+10400)$

$C={\displaystyle \frac{47320}{3}}-{\displaystyle \frac{36320}{3}}={\displaystyle \frac{11000}{3}}\approx \mathrm{3666,67}{\text{m}}^2$

Las parcelas miden $10400{\text{m}}^2$ la $A$, unos $\mathrm{1706,67}{\text{m}}^2$ la $B$ y unos $\mathrm{3666,67}{\text{m}}^2$ la $C$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{agricultor}}\mathbf{\text{dedicar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{parcelas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{trigo,}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{millo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{cebada.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{toda}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{finca}}\mathbf{\text{(mano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obra,}}\mathbf{\text{maquinaria,}}\mathbf{\text{semillas,}}\mathbf{\text{agua,}}\mathbf{\text{transporte,}}\mathbf{\text{etc.)}}\mathbf{\text{asciende}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{22134}}\mathbf{\text{€.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{trigo}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{ingreso}}\mathbf{\text{anual}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{millo}}\mathbf{\text{3,5}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cebada}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{agricultor}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{parcela}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{maximizar}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{beneficio?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{anual?}}$

El coste es el mismo se plante lo que se plante, así que maximizar el beneficio equivale a maximizar el ingreso. Como el ingreso total es la suma de los productos superficie por precio, conviene asignar el precio más alto a la parcela más grande y el más bajo a la más pequeña.

Ordenando las superficies de mayor a menor se obtiene $A>C>B$, y los precios de mayor a menor son 4, 3,5 y 2 €/m². Por tanto se planta trigo en $A$, millo en $C$ y cebada en $B$.

$I_A=4\cdot 10400=41600\text{ €}$

$I_C=\mathrm{3,5}\cdot {\displaystyle \frac{11000}{3}}={\displaystyle \frac{38500}{3}}\approx 12\mathrm{833,33}\text{ €}$

$I_B=2\cdot {\displaystyle \frac{5120}{3}}={\displaystyle \frac{10240}{3}}\approx \mathrm{3413,33}\text{ €}$

$I=41600+{\displaystyle \frac{48740}{3}}={\displaystyle \frac{173540}{3}}\approx 57\mathrm{846,67}\text{ €}$

$B=I-22134\approx 57\mathrm{846,67}-22134=35\mathrm{712,67}\text{ €}$

El agricultor debe plantar trigo en la parcela $A$, millo en la $C$ y cebada en la $B$, con lo que obtendrá un beneficio total anual de unos $35\mathrm{712,67}$ euros.