Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

A principios de 2024, tras más de dos años y medio después de la erupción del volcán Tajogaite, se han comenzado a sembrar las primeras fincas de plátanos sobre las coladas de dicho volcán. Una de las fincas replantadas sobre la colada tiene una superficie, en hectáreas, limitada por las funciones $f(x)=(x-2{)}^2$ y $g(x)=-x+4$.

a) Representa la superficie de la finca. [0,75 puntos]

b) Calcula el área. [1 punto]

c) Si la finca produce anualmente 45000 kg de plátanos por hectárea y la Unión Europea aporta una ayuda de 0,33 euros por kilo producido, ¿cuál sería el importe a recibir cada año en ayudas de la UE sabiendo que aproximadamente el 1,5 % de la producción se desecha antes de recibir las ayudas? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{finca.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La finca es el recinto limitado por la parábola $f(x)=(x-2{)}^2$ y la recta $g(x)=-x+4$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$(x-2{)}^2=-x+4\Rightarrow x^2-4x+4=-x+4\Rightarrow x^2-3x=0$

$x(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=4\\ x=3\Rightarrow y=1\end{array}$

Entre $x=0$ y $x=3$ la recta queda por encima de la parábola, que tiene su vértice en $(2,0)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo entre los puntos de corte.

$A={\int }_0^3[(-x+4)-(x-2{)}^2]dx={\int }_0^3(-x+4-x^2+4x-4)dx$

$A={\int }_0^3(3x-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^3$

$A={\displaystyle \frac{27}{2}}-9={\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$

La finca tiene una superficie de $\mathrm{4,5}$ hectáreas.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{finca}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{anualmente}}\mathbf{\text{45000}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tanos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{hect}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Uni}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{Europea}}\mathbf{\text{aporta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{ayuda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{0,33}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{kilo}}\mathbf{\text{producido,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{importe}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{recibir}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ayudas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{UE}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aproximadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desecha}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{recibir}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ayudas?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Calculamos primero la producción total de la finca.

$45000\cdot \mathrm{4,5}=202500\text{ kg}$

Se desecha el 1,5 %, de modo que llega a cobrarse el 98,5 % de la producción.

$202500\cdot \mathrm{0,985}=199\mathrm{462,5}\text{ kg}$

$199\mathrm{462,5}\cdot \mathrm{0,33}=65\mathrm{822,625}\text{ €}$

El importe que se recibiría cada año en ayudas de la Unión Europea es de $65\mathrm{822,63}$ euros.