Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Un joyero quiere revender una lámina de oro cuyos márgenes limitan las funciones $f(x)=(x-2{)}^2$ y $g(x)=x+4$. Si se mide en centímetros:

a) Hacer una gráfica de la lámina. ¿Cuál es la superficie de la lámina?

b) Si cada centímetro cuadrado de lámina pesa 2 gramos, ¿cuántos gramos pesa la lámina?

c) Si el costo de adquisición de la lámina fue de 20 euros por gramo, ¿cuál debe ser el precio que debe poner a cada gramo de oro para tener un beneficio de 625 euros?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Hacer}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina?}}$

La lámina es el recinto limitado por la parábola $f(x)=(x-2{)}^2$ y la recta $g(x)=x+4$, así que empezamos por sus puntos de corte.

$(x-2{)}^2=x+4\Rightarrow x^2-4x+4=x+4\Rightarrow x^2-5x=0$

$x(x-5)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=4\\ x=5\Rightarrow y=9\end{array}$

Entre $x=0$ y $x=5$ la recta queda por encima de la parábola, cuyo vértice está en $(2,0)$.



Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$A={\int }_0^5[(x+4)-(x-2{)}^2]dx={\int }_0^5(x+4-x^2+4x-4)dx$

$A={\int }_0^5(5x-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^5$

$A={\displaystyle \frac{125}{2}}-{\displaystyle \frac{125}{3}}={\displaystyle \frac{375-250}{6}}={\displaystyle \frac{125}{6}}\approx \mathrm{20,83}$

La lámina tiene una superficie de ${\displaystyle \frac{125}{6}}\approx \mathrm{20,83}{\text{cm}}^2$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{cent}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{cuadrado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{pesa}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{gramos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{pesa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina?}}$

$m=2\cdot {\displaystyle \frac{125}{6}}={\displaystyle \frac{125}{3}}\approx \mathrm{41,67}\text{ g}$

La lámina pesa ${\displaystyle \frac{125}{3}}\approx \mathrm{41,67}$ gramos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{costo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{adquisici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{gramo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{poner}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{gramo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{oro}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{625}}\mathbf{\text{euros?}}$

El coste de adquisición de toda la lámina es

$C=20\cdot {\displaystyle \frac{125}{3}}={\displaystyle \frac{2500}{3}}\approx \mathrm{833,33}\text{ €}$

Llamamos $p$ al precio de venta por gramo. El beneficio es el ingreso menos el coste.

${\displaystyle \frac{125}{3}}p-{\displaystyle \frac{2500}{3}}=625$

${\displaystyle \frac{125}{3}}p={\displaystyle \frac{2500}{3}}+625={\displaystyle \frac{2500+1875}{3}}={\displaystyle \frac{4375}{3}}$

$p={\displaystyle \frac{4375}{125}}=35$

El joyero debe poner cada gramo de oro a $35$ euros.