Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

En una plaza hay una superficie limitada por las curvas

$y=3x^2-5x+3,y=x+3,$

con $x$ expresado en metros, donde se quiere hacer un jardín para instalar dentro una estatua conmemorativa.

a) Representar la superficie que se destina al jardín. [0,75 puntos]

b) ¿Cuánto mide dicha superficie? [1 punto]

c) La superficie se recubre con césped artificial, con un precio de 25,99 €/m². Para colocar el césped se requiere material adicional con un coste de 18 €/m², siendo además el coste de la mano de obra de 20 €/m². A los costes anteriores hay que añadir el impuesto que es un 7 % para el césped y materiales y un 4 % para la mano de obra. ¿Cuál es el coste total de la obra? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{destina}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{jard}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La superficie del jardín es el recinto limitado por la parábola $y=3x^2-5x+3$ y la recta $y=x+3$, así que empezamos por calcular sus puntos de corte.

$3x^2-5x+3=x+3\Rightarrow 3x^2-6x=0\Rightarrow 3x(x-2)=0$

$\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=3\\ x=2\Rightarrow y=5\end{array}$

Las dos curvas se cortan en $(0,3)$ y en $(2,5)$. La parábola tiene las ramas hacia arriba y su vértice está en $x={\displaystyle \frac{5}{6}}$, de modo que entre $x=0$ y $x=2$ la recta queda por encima de la parábola.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{superficie?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área se calcula integrando la diferencia entre la función que queda arriba y la que queda abajo, entre los dos puntos de corte.

$A={\int }_0^2[(x+3)-(3x^2-5x+3)]dx={\int }_0^2(6x-3x^2)dx$

$A={[3x^2-x^3]}_0^2=(3\cdot 4-8)-(0-0)$

$A=12-8=4{\text{m}}^2$

La superficie destinada al jardín mide $4{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{recubre}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sped}}\mathbf{\text{artificial,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25,99}}\mathbf{\text{€/m².}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{colocar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sped}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{requiere}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{adicional}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{18}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{siendo}}\mathbf{\text{adem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{€/m².}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{costes}}\mathbf{\text{anteriores}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{adir}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{impuesto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sped}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{materiales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mano}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{obra.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{obra?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Separamos los dos bloques de coste, porque llevan impuestos distintos. El césped y el material adicional se gravan al 7 %.

$C_1=(\mathrm{25,99}+18)\cdot 4=\mathrm{43,99}\cdot 4=\mathrm{175,96}\text{ €}$

$C_1^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{175,96}\cdot \mathrm{1,07}=\mathrm{188,2772}\text{ €}$

La mano de obra se grava al 4 %.

$C_2=20\cdot 4=80\text{ €}{C}_2^{\mathrm{\prime }}=80\cdot \mathrm{1,04}=\mathrm{83,2}\text{ €}$

$C=C_1^{\mathrm{\prime }}+C_2^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{188,2772}+\mathrm{83,2}=\mathrm{271,4772}\text{ €}$

El coste total de la obra asciende a $\mathrm{271,48}$ euros.