Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

El ayuntamiento de una ciudad está renovando un parque y va a construir un lago artificial con forma curva, delimitado por un sendero recto. El parque tiene forma rectangular y sus dimensiones (en metros) van de 0 a 50 en el eje $x$ y de 0 a 90 en el eje $y$. La silueta del lago sigue la función $y={\displaystyle \frac{-2}{10}}{x}^2+11x-70$ (metros), y se sitúa al norte del sendero, definido por la recta $y=x+10$.

a) Representar el parque después de que esté terminada su renovación. [0,75 puntos]

b) Calcular la superficie del lago. [1 punto]

c) La superficie del parque situada al norte del sendero se va a plantar con flores y la situada al sur con césped. Calcular el coste de renovación del parque si el coste de construcción del lago supone 1000 €/m², la zona de flores 180 €/m² y la zona de césped 110 €/m². [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Representar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{parque}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{terminada}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{renovaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El parque es el rectángulo $[0,50]\times [0,90]$. Dentro de él, el sendero es la recta $y=x+10$ y el lago queda entre la parábola y esa recta, así que empezamos por calcular sus puntos de corte.

$-{\displaystyle \frac{2}{10}}{x}^2+11x-70=x+10\Rightarrow -\mathrm{0,2}{x}^2+10x-80=0$

$x^2-50x+400=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{50\pm \sqrt{2500-1600}}{2}}={\displaystyle \frac{50\pm 30}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=10\Rightarrow y=20\\ x=40\Rightarrow y=50\end{array}$

Entre $x=10$ y $x=40$ la parábola queda por encima del sendero, y esa es la silueta del lago.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lago.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área encerrada entre las dos curvas se obtiene integrando su diferencia entre los puntos de corte.

$A={\int }_{10}^{40}[(-\mathrm{0,2}{x}^2+11x-70)-(x+10)]dx={\int }_{10}^{40}(-\mathrm{0,2}{x}^2+10x-80)dx$

$A={[-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}{x}^3}{3}}+5x^2-80x]}_{10}^{40}$

$A=(-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot 64000}{3}}+5\cdot 1600-3200)-(-{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}\cdot 1000}{3}}+5\cdot 100-800)$

$A=(-{\displaystyle \frac{12800}{3}}+4800)-(-{\displaystyle \frac{200}{3}}-300)={\displaystyle \frac{1600}{3}}+{\displaystyle \frac{1100}{3}}={\displaystyle \frac{2700}{3}}=900$

La superficie del lago es de $900{\text{m}}^2$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{parque}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{norte}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sendero}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{va}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{plantar}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{flores}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{situada}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sur}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sped.}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{renovaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{parque}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{coste}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{construcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{lago}}\mathbf{\text{supone}}\mathbf{\text{1000}}\mathbf{\text{€/m²,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{flores}}\mathbf{\text{180}}\mathbf{\text{€/m²}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{zona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sped}}\mathbf{\text{110}}\mathbf{\text{€/m².}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El parque completo mide

$S=50\cdot 90=4500{\text{m}}^2$

La zona situada al sur del sendero es el trapecio limitado por la recta $y=x+10$ y los lados del rectángulo. Sus bases son las ordenadas de la recta en los extremos, $y(0)=10$ e $y(50)=60$, y su altura es el ancho del parque.

$S_{\text{sur}}={\displaystyle \frac{10+60}{2}}\cdot 50=35\cdot 50=1750{\text{m}}^2$

$S_{\text{norte}}=4500-1750=2750{\text{m}}^2$

De la zona norte hay que descontar el lago para obtener la superficie que se planta con flores.

$S_{\text{flores}}=2750-900=1850{\text{m}}^2$

Ya se puede valorar cada partida.

$C_{\text{lago}}=900\cdot 1000=900000\text{ €}$

$C_{\text{flores}}=1850\cdot 180=333000\text{ €}$

$C_{\text{c}\acute{\text{e}}\text{sped}}=1750\cdot 110=192500\text{ €}$

$C=900000+333000+192500=1425500\text{ €}$

El coste de la renovación del parque asciende a $1425500$ euros.