Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 3 - Cuestión 1. (2 puntos)

Realiza:

a) Calcula ${\displaystyle \int ({\displaystyle \frac{2}{x-1}}+3\sqrt{x})dx}$. [0,25 puntos]
b) Calcula el área limitada por la función $f(x)=-x^2+4x$, el eje $OX$ y las rectas $x=0$ y $x=4$. [1,75 puntos]

Por la linealidad, la integral se descompone en dos inmediatas: una de tipo logarítmico y otra de tipo potencial con $\sqrt{x}=x^{1\mathrm{/}2}$.

$\int {\displaystyle \frac{2}{x-1}}dx=2\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$

$\int 3x^{1\mathrm{/}2}dx=3\cdot {\displaystyle \frac{x^{3\mathrm{/}2}}{3\mathrm{/}2}}=2\sqrt{x^3}$

$\int ({\displaystyle \frac{2}{x-1}}+3\sqrt{x})dx=2\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+2\sqrt{x^3}+C$

Derivando la primitiva se recupera el integrando, lo que confirma el resultado.



Antes de integrar se estudia el signo de la función en el intervalo, buscando sus cortes con el eje $OX$.

$-x^2+4x=0\Rightarrow -x(x-4)=0\Rightarrow x=0;x=4$

La parábola tiene las ramas hacia abajo y sus cortes son justo los extremos del intervalo, así que $f(x)\ge 0$ en todo $[0,4]$ y el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_0^4(-x^2+4x)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+2x^2]}_0^4=-{\displaystyle \frac{64}{3}}+32$

$A={\displaystyle \frac{-64+96}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.