Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 6. (2,5 puntos) Representar gráficamente el recinto del plano limitado por la parábola $f(x)=x^2+4$ y la recta $g(x)=x+4$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$x^2+4=x+4\Rightarrow x^2-x=0\Rightarrow x(x-1)=0$

$x=0;x=1$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

$g\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{4,5}>f\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(\frac{1}{2}\right)=\mathrm{4,25}$

La recta queda por encima de la parábola en todo el intervalo $[0,1]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_0^1[(x+4)-(x^2+4)]dx={\int }_0^1(x-x^2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$

$A={\displaystyle \frac{1}{6}}$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx \mathrm{0,17}$ unidades de área.