Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}$.
a) Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}$ en el punto $x=1$. (1,25 puntos)
b) Calcular el área del recinto limitado por la curva $f(x)={\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}$, el eje de abscisa y la recta $x=1$. (1,25 puntos)

La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente, con la ordenada y la derivada en el punto.

$f(1)={\displaystyle \frac{2}{1+2}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$

Se deriva por la regla del cociente.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2(x^2+2)-2x\cdot 2x}{(x^2+2{)}^2}}={\displaystyle \frac{4-2x^2}{(x^2+2{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{4-2}{9}}={\displaystyle \frac{2}{9}}$

$y-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{2}{9}}(x-1)$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=1$ es $y={\displaystyle \frac{2}{9}}x+{\displaystyle \frac{4}{9}}$.



El recinto queda limitado por la izquierda por el corte de la curva con el eje de abscisas, que se obtiene anulando el numerador.

$2x=0\Rightarrow x=0$

En $[0,1]$ la función es positiva, luego la gráfica queda por encima del eje $OX$ y el área coincide con la integral definida.



$A={\int }_0^1{\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}dx$

En el numerador aparece la derivada del denominador, así que se trata de una integral de tipo logarítmico.

$\int {\displaystyle \frac{2x}{x^2+2}}dx=\ln (x^2+2)+C$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A=[\ln (x^2+2){]}_0^1=\ln 3-\ln 2=\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}$

El área del recinto es $\ln {\displaystyle \frac{3}{2}}\approx \mathrm{0,405}$ unidades de área.