Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 7. (2,5 puntos) Calcular el área de la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=x+2$ y representar gráficamente esta región.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos funciones.

$x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}$

$x=-1;x=2$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=0$.

$g(0)=2>f(0)=0$

La recta queda por encima de la parábola en todo el intervalo $[-1,2]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_{-1}^2[(x+2)-x^2]dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-1}^2={\displaystyle \frac{10}{3}}-(-{\displaystyle \frac{7}{6}})$

$A={\displaystyle \frac{20+7}{6}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área de la región limitada por la parábola y la recta es ${\displaystyle \frac{9}{2}}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.