Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=x^2-2x+2$ y $g(x)=-x^2+6$. Calcular su área.

Los límites de integración son las abscisas de los puntos de corte, que se obtienen igualando las dos parábolas.

$x^2-2x+2=-x^2+6\Rightarrow 2x^2-2x-4=0\Rightarrow x^2-x-2=0$

$x={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow x=-1;x=2$

Para saber cuál queda por encima se evalúan ambas en un punto interior, por ejemplo $x=0$.

$g(0)=6>f(0)=2$

La parábola $g$ queda por encima de $f$ en todo el intervalo $[-1,2]$.



El área es la integral de la diferencia entre la función superior y la inferior.

$A={\int }_{-1}^2[(-x^2+6)-(x^2-2x+2)]dx={\int }_{-1}^2(-2x^2+2x+4)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+x^2+4x]}_{-1}^2={\displaystyle \frac{20}{3}}-(-{\displaystyle \frac{7}{3}})$

$A={\displaystyle \frac{27}{3}}=9$

El área del recinto encerrado entre las dos parábolas es de $9$ unidades de área.