Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Cuestión 6. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}$:
a) Calcular la derivada $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ (1 punto)
b) Calcular ${\displaystyle \int f(x)dx}$ (1 punto)
c) Calcular ${\displaystyle \int f(x)dx}$ (0,5 puntos)

Se aplica la regla del cociente y se simplifica el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1\cdot (1+x^2)-x\cdot 2x}{(1+x^2{)}^2}}={\displaystyle \frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2{)}^2}}$

La derivada de la función es $f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}}$.



La derivada del denominador es $2x$, que coincide con el numerador salvo el factor $2$: es una integral de tipo logarítmico y basta ajustar la constante.

$\int {\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\int {\displaystyle \frac{2x}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+x^2)+C$

Como $1+x^2>0$, no hace falta el valor absoluto: la primitiva es ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+x^2)+C$.



Haciendo uso de la regla de Barrow con la primitiva del apartado anterior:

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}dx={[{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (1+x^2)]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 1$

${\int }_0^1{\displaystyle \frac{x}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2$

Como la función es positiva en $[0,1]$, esta integral es además el área del recinto que encierra con el eje $OX$ entre $x=0$ y $x=1$, y vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}\ln 2\approx \mathrm{0,3466}$.