Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Cuestión 4. (2,5 puntos) Dada la función $f(x)=a{x}^3+bx+c$, calcular el valor de $a$, $b$ y $c$ para que:

a) La función pase por el origen de coordenadas y tenga en el punto $(1,-1)$ un mínimo local.
b) Para los valores obtenidos en el apartado anterior, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{pase}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mo\; mathvariant="bold-italic">-</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{local.}}$

Cada condición del enunciado se traduce en una ecuación. Pasar por el origen significa que la imagen de cero es cero.

$f(0)=c=0$

Pasar por el punto $(1,-1)$ da la segunda ecuación.

$f(1)=a+b+c=a+b=-1$

Que en $x=1$ haya un extremo obliga a que la derivada se anule allí.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3a{x}^2+b\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=3a+b=0$

Se resuelve el sistema restando la primera ecuación de la segunda.

$\{\begin{array}{l}a+b=-1\\ 3a+b=0\end{array}\Rightarrow 2a=1\Rightarrow a={\displaystyle \frac{1}{2}};b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Se comprueba que efectivamente es un mínimo con la segunda derivada.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=3x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=3>0$

Los coeficientes son $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $b=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ y $c=0$, de modo que la función es $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se estudia el signo de la derivada, que se factoriza sin dificultad.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{2}}(x-1)(x+1)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-1;x=1$



La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,1)$, con un máximo local en $(-1,1)$ y el mínimo local en $(1,-1)$ que exigía el enunciado.