Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Cuestión 3. (2,5 puntos) El número de espectadores, en miles de personas, en unas pequeñas salas de cine de un pueblo es función de las personas que actúan, viene dada por la función $P(x)=x^3-6x^2+9x+4$, donde $x$ representa el número de horas, $1\le x\le 5$. Determine:
a) ¿Cuál será el momento en el número de espectadores es máximo? ¿Cuántos son? (1 punto)
b) ¿Cuándo hay un mayor número de espectadores?, ¿Cuántos son? (0,75 puntos)
c) ¿En qué hora hay menos espectadores?, ¿Cuántos son? (0,75 puntos)

Se estudian los extremos de la función derivando e igualando a cero, teniendo en cuenta que solo interesa el intervalo $[1,5]$.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=1;x=3$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espectadores}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{son?}}(1\text{ punto})$

Se clasifican los puntos críticos con la segunda derivada.

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-12\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=-6<0;P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=6>0$

En $x=1$ hay un máximo relativo, que es además el extremo izquierdo del intervalo.

$P(1)=1-6+9+4=8$

El máximo relativo se produce a la hora $x=1$ y corresponde a $8000$ espectadores, porque la función está expresada en miles de personas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{espectadores?,}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{son?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

Para el máximo absoluto en un intervalo cerrado se comparan los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo.

$P(1)=8;P(3)=27-54+27+4=4;P(5)=125-150+45+4=24$

El mayor número de espectadores se alcanza a las $5$ horas, con $24000$ espectadores.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{hora}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{espectadores?,}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{son?}}(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$

De los mismos tres valores, el menor es el que corresponde al mínimo relativo.

$P(3)=4$

El menor número de espectadores se da a las $3$ horas, con $4000$ espectadores.