Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.1 [2,5 puntos]
Se ha observado que las ganancias/pérdidas obtenidas en un juego determinado están relacionadas con el tiempo invertido en el mismo, y que se expresan a través de la siguiente función:
$G(t)={\displaystyle \frac{100t}{t^2+400}}$
donde $t$ es el tiempo transcurrido (en minutos) y $G(t)$ son las ganancias/pérdidas (en miles de euros).

a) [1 punto] Calcula cuánto tiempo hay que estar jugando para ganar lo máximo posible y cuál es dicha cantidad máxima.
b) [0,4 puntos] Cuanto más tiempo se dedica a jugar, ¿más dinero se gana? Razona la respuesta.
c) [0,4 puntos] ¿Puede llegarse a perder dinero en caso de jugar mucho tiempo? Razona la respuesta.
d) [0,7 puntos] ¿Cuál es la tendencia de la evolución de las ganancias/pérdidas? ¿La relacionas con alguna característica de la función?

El tiempo de juego solo puede ser positivo, de modo que se trabaja en el dominio $t>0$. Se deriva la función por la regla del cociente, porque es la herramienta de los dos primeros apartados.

$G^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{100(t^2+400)-100t\cdot 2t}{{(t^2+400)}^2}}={\displaystyle \frac{100t^2+40000-200t^2}{{(t^2+400)}^2}}$

$G^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{40000-100t^2}{{(t^2+400)}^2}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estar}}\mathbf{\text{jugando}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{ganar}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima.}}$

Se buscan los puntos que anulan la derivada. Como el denominador nunca se anula, basta con el numerador.

$40000-100t^2=0\Rightarrow t^2=400\Rightarrow t=\pm 20$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio del problema, ya que el tiempo de juego no puede ser negativo. Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro de $t=20$.

$\{\begin{array}{l}{G}^{\mathrm{\prime }}(10)={\displaystyle \frac{40000-10000}{{\left(500\right)}^2}}>0\\ G^{\mathrm{\prime }}(30)={\displaystyle \frac{40000-90000}{{\left(1300\right)}^2}}<0\end{array}\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo en }t=20$

$G(20)={\displaystyle \frac{100\cdot 20}{{20}^2+400}}={\displaystyle \frac{2000}{800}}=\mathrm{2,5}$



Hay que estar jugando $20$ minutos para ganar lo máximo posible, y esa ganancia máxima es de $\mathrm{2,5}$ miles de euros, es decir, $2500$ euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Cuanto}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{dedica}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{jugar,}}\mathbf{\text{¿m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{gana?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

El estudio de signos del apartado anterior responde a la pregunta: la derivada es positiva antes de los veinte minutos y negativa después.

$\begin{array}{ccc}& (0,20)& (20,+\mathrm{\infty })\\ G^{\mathrm{\prime }}(t)& +& -\\ G(t)& \nearrow & \searrow \end{array}$

No: solo se gana más cuanto más se juega durante los primeros $20$ minutos. A partir de ese instante la ganancia empieza a disminuir, por mucho que se siga jugando.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{llegarse}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{perder}}\mathbf{\text{dinero}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{jugar}}\mathbf{\text{mucho}}\mathbf{\text{tiempo?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Perder dinero significaría que la función tomase valores negativos. Basta razonar sobre el signo de la expresión.

$G(t)={\displaystyle \frac{100t}{t^2+400}}\text{ con }t>0$

El numerador es positivo porque $t>0$, y el denominador también, porque es una suma de un cuadrado y un número positivo. Por tanto, el cociente es siempre positivo.

$G(t)>0\text{ para todo }t>0$

No se puede llegar a perder dinero por mucho que se juegue: la ganancia disminuye, pero nunca llega a ser negativa.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tendencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{evoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ganancias/p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas?}}\mathbf{\text{¿La}}\mathbf{\text{relacionas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{caracter}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

La tendencia a largo plazo se estudia con el límite en el infinito. Se trata de un cociente de polinomios en el que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}G(t)={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{100t}{t^2+400}}=0$

Ese límite es precisamente la definición de asíntota horizontal.

$y=0\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal de }G(t)$

La tendencia es que las ganancias se vayan reduciendo hasta acercarse a cero sin llegar a serlo nunca, y sin pasar a pérdidas. La característica de la función que lo explica es la asíntota horizontal $y=0$, que es el propio eje de abscisas.