Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Los beneficios o pérdidas diarios de una nueva empresa durante el primer año de funcionamiento vienen dados por la función $B(x)=-x^2+260x-12.000$, donde $x$ representa el día desde el inicio de la actividad de la empresa.

a) ¿Qué beneficio o pérdida tuvo la empresa el día 45? ¿Qué días obtuvo un beneficio de 4.000 €? [1 punto]

b) Calcule qué día la empresa obtuvo el beneficio máximo y cuál fue este valor. Calcule también entre qué días la empresa no tuvo pérdidas. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdida}}\mathbf{\text{tuvo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">45</mn>}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">4.000</mn>}\mathbf{\text{€?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El beneficio del día 45 es el valor de la función en $x=45$.

$B(45)=-{45}^2+260\cdot 45-12000=-2025+11700-12000=-2325$

Para saber qué días el beneficio fue de 4.000 € se iguala la función a ese valor y se resuelve la ecuación de segundo grado que resulta.

$-x^2+260x-12000=4000\Rightarrow x^2-260x+16000=0$

$x={\displaystyle \frac{260\pm \sqrt{{260}^2-4\cdot 16000}}{2}}={\displaystyle \frac{260\pm \sqrt{67600-64000}}{2}}={\displaystyle \frac{260\pm 60}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=100\\ x=160\end{array}$

El día 45 la empresa tuvo una pérdida de $2325$ €, y obtuvo un beneficio de 4.000 € los días $100$ y $160$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{valor.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tuvo}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función beneficio y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-2x+260$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -2x+260=0\Rightarrow x=130$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(130)=-2<0$

$B(130)=-{130}^2+260\cdot 130-12000=-16900+33800-12000=4900$

La empresa no tiene pérdidas cuando el beneficio no es negativo, de modo que se resuelve la inecuación $B(x)\ge 0$. Se calculan primero los ceros de la función.

$-x^2+260x-12000=0\Rightarrow x^2-260x+12000=0$

$x={\displaystyle \frac{260\pm \sqrt{67600-48000}}{2}}={\displaystyle \frac{260\pm \sqrt{19600}}{2}}={\displaystyle \frac{260\pm 140}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=60\\ x=200\end{array}$

Se hace un estudio de signos tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=10,B(10)=-100+2600-12000=-9500<0\\ \text{Si }x=130,B(130)=4900>0\\ \text{Si }x=300,B(300)=-90000+78000-12000=-24000<0\end{array}$

Como el coeficiente de $x^2$ es negativo, la parábola es cóncava y solo es positiva entre sus dos raíces.

El beneficio máximo se alcanza el día $130$ y es de $4900$ €. La empresa no tiene pérdidas entre el día $60$ y el día $200$.