Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

El número de nuevas personas infectadas por una enfermedad, en miles, viene dado por la función siguiente:

$f(t)={\displaystyle \frac{30t}{t^2-2t+4}},t\ge 0$

donde $t$ representa el tiempo transcurrido, en semanas, desde que se inició la infección.

a) ¿Cuántos enfermos se infectarán en la semana 1 y cuántos en la semana 2? ¿Podemos pensar que, a largo plazo, esta infección desaparecerá? [1 punto]

b) ¿En qué instante se produce el número máximo de infectados por esta enfermedad? ¿Cuál es este número? [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{enfermos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{infectar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{1}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{2}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{¿Podemos}}\mathbf{\text{pensar}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{plazo,}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{infecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{desaparecer}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Basta evaluar la función en las dos semanas pedidas, teniendo en cuenta que el resultado viene expresado en miles de personas.

$f(1)={\displaystyle \frac{30\cdot 1}{1^2-2\cdot 1+4}}={\displaystyle \frac{30}{3}}=10$

$f(2)={\displaystyle \frac{30\cdot 2}{2^2-2\cdot 2+4}}={\displaystyle \frac{60}{4}}=15$

Para saber qué ocurre a largo plazo se calcula el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito. Es un cociente de polinomios en el que el denominador tiene mayor grado que el numerador.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{30t}{t^2-2t+4}}={\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{30}{t}}}{1-{\displaystyle \frac{2}{t}}+{\displaystyle \frac{4}{t^2}}}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal de la función.

En la semana 1 se infectan $10.000$ personas y en la semana 2, $15.000$. Como el número de nuevos infectados tiende a cero, sí se puede pensar que a largo plazo la infección desaparecerá.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{infectados}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{enfermedad?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero?}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Derivamos la función aplicando la regla del cociente y la igualamos a cero en busca de los puntos críticos.

$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{30(t^2-2t+4)-30t(2t-2)}{(t^2-2t+4{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{30t^2-60t+120-60t^2+60t}{(t^2-2t+4{)}^2}}={\displaystyle \frac{-30t^2+120}{(t^2-2t+4{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow -30t^2+120=0\Rightarrow t^2=4\Rightarrow t=\pm 2$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de la función, que es $t\ge 0$.

El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=1,-30+120=90>0\\ \text{Si }t=4,-480+120=-360<0\end{array}$

La función crece en $(0,2)$ y decrece en $(2,+\mathrm{\infty })$, de modo que en $t=2$ hay un máximo.



$f(2)={\displaystyle \frac{60}{4}}=15$

El número máximo de nuevos infectados se produce en la semana $2$, y es de $15.000$ personas.