Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Un inversor se da cuenta de que en el momento actual sus acciones tienen unas pérdidas de 2.000 €. Su asesor financiero tiene una previsión del valor de las acciones para los próximos 30 días. Le dice que el valor de las acciones ya ha empezado a aumentar y que de aquí a pocos días dejará de tener pérdidas. Según las previsiones, durante los próximos 10 días el valor de las acciones crecerá; del día 10 al día 20 los beneficios disminuirán, y a partir de este día los beneficios volverán a crecer. El asesor también dice al inversor que la previsión de los beneficios para los próximos 30 días tiene como modelo la función $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$, donde $x\in [0,30]$.

a) Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$. [1,5 puntos]

b) Si el inversor quiere vender sus acciones durante estos 30 días, ¿cuál es el día en el que obtendrá más beneficios de la venta? ¿Qué beneficios obtendrá? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metros}}\mathit{a}\mathbf{\text{,}}\mathit{b}\mathbf{\text{y}}\mathit{c}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

El enunciado da tres condiciones. La primera es el valor actual, que corresponde a $x=0$ y son 2.000 € de pérdidas, es decir, un beneficio de $-2000$.

$f(0)=c=-2000$

Las otras dos condiciones son de monotonía: la función crece hasta el día 10, decrece del 10 al 20 y vuelve a crecer. Eso significa que hay un máximo relativo en $x=10$ y un mínimo relativo en $x=20$, y en los extremos relativos la derivada se anula.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$

$f^{\mathrm{\prime }}(10)=0\Rightarrow 300+20a+b=0$

$f^{\mathrm{\prime }}(20)=0\Rightarrow 1200+40a+b=0$

Restamos la primera ecuación de la segunda:

$900+20a=0\Rightarrow a=-45$

$b=-300-20(-45)=-300+900=600$

Comprobamos que con estos valores la derivada se anula donde toca:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-90x+600=3(x-10)(x-20)$

Los parámetros valen $a=-45$, $b=600$ y $c=-2000$, de manera que $f(x)=x^3-45x^2+600x-2000$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{inversor}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{acciones}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{estos}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">30</mn>}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{venta?}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{obtendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se busca el máximo absoluto de la función en el intervalo cerrado $[0,30]$, de modo que hay que comparar los valores en los puntos críticos y en los extremos del intervalo. Los puntos críticos ya se conocen del apartado anterior: $x=10$ y $x=20$.

$f(0)=-2000$

$f(10)=1000-4500+6000-2000=500$

$f(20)=8000-18000+12000-2000=0$

$f(30)=27000-40500+18000-2000=2500$

Comparando los cuatro valores:

$-2000<0<500<2500$

El máximo relativo del día 10 no es el mayor beneficio del periodo, porque después la función vuelve a crecer y en el extremo derecho del intervalo supera ese valor.

El inversor obtendrá más beneficios vendiendo el día $30$, con un beneficio de $2500$ €.