Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

La función $C(t)=3-{\displaystyle \frac{1}{t^2-4t+5}}$, donde $t$ son los años transcurridos y $C(t)$ la cantidad de clientes, expresada en miles, modeliza la evolución de una empresa que ha entrado en crisis.

a) Calcule cuántos clientes tenía la empresa en el momento inicial y cuántos tenía al cabo de un año. [0,5 puntos]

b) Encuentre el instante en el que la empresa deja de perder clientes y calcule cuántos clientes tiene en aquel instante. [1 punto]

c) Calcule cuánto tiempo tendrá que pasar para que la empresa consiga tener de nuevo el mismo número de clientes que en el momento de iniciar el estudio. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{inicial}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Basta evaluar la función en $t=0$ y en $t=1$, teniendo en cuenta que el resultado viene expresado en miles de clientes.

$C(0)=3-{\displaystyle \frac{1}{0-0+5}}=3-{\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{2,8}$

$C(1)=3-{\displaystyle \frac{1}{1-4+5}}=3-{\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{2,5}$

En el momento inicial la empresa tenía $2800$ clientes y al cabo de un año, $2500$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{perder}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{aquel}}\mathbf{\text{instante.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La empresa deja de perder clientes cuando la función pasa de decrecer a crecer, es decir, en su mínimo. Derivamos y anulamos la derivada.

$C(t)=3-(t^2-4t+5{)}^{-1}$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{2t-4}{(t^2-4t+5{)}^2}}$

$C^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 2t-4=0\Rightarrow t=2$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=1,2-4=-2<0\\ \text{Si }t=3,6-4=2>0\end{array}$

La función decrece en $(0,2)$ y crece en $(2,+\mathrm{\infty })$, de modo que en $t=2$ hay un mínimo.



$C(2)=3-{\displaystyle \frac{1}{4-8+5}}=3-1=2$

La empresa deja de perder clientes a los $2$ años, y en ese momento tiene $2000$ clientes.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{consiga}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{iniciar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{estudio.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se iguala la función al valor inicial, que es $C(0)=\mathrm{2,8}$, y se resuelve la ecuación.

$3-{\displaystyle \frac{1}{t^2-4t+5}}=\mathrm{2,8}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{t^2-4t+5}}=\mathrm{0,2}$

$t^2-4t+5={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2}}}=5\Rightarrow t^2-4t=0\Rightarrow t(t-4)=0$

$\{\begin{array}{l}t=0\\ t=4\end{array}$

La solución $t=0$ es el propio instante inicial, así que la que responde a la pregunta es la otra.

La empresa recupera los $2800$ clientes al cabo de $4$ años de haber iniciado el estudio.