Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Considere la función real de variable real $f(x)=4x^3+a{x}^2-2$.

a) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x=-1$. [1,25 puntos]

b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$ cuando $a=12$. Indique también los puntos en los que hay extremos relativos y clasifíquelos. [1,25 puntos]

En un extremo relativo la derivada de la función se anula, así que se deriva y se impone esa condición en el punto indicado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2+2ax$

$f^{\mathrm{\prime }}(-1)=0\Rightarrow 12(-1{)}^2+2a(-1)=0$

$12-2a=0\Rightarrow a=6$

Comprobamos que con ese valor hay realmente un extremo, y no un punto de inflexión con tangente horizontal:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=24x+12\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-1)=-24+12=-12<0$

Para $a=6$ la función tiene un extremo relativo en $x=-1$, y se trata de un máximo.



Con $a=12$ la función y su derivada son:

$f(x)=4x^3+12x^2-2$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2+24x=12x(x+2)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-2\end{array}$

Se hace un estudio de signos de la derivada tomando un valor de prueba en cada tramo.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=-3,f^{\mathrm{\prime }}(-3)=108-72=36>0\\ \text{Si }x=-1,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=12-24=-12<0\\ \text{Si }x=1,f^{\mathrm{\prime }}(1)=12+24=36>0\end{array}$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)$, decrece en $(-2,0)$ y vuelve a crecer en $(0,+\mathrm{\infty })$.



En $x=-2$ la función pasa de crecer a decrecer, de modo que hay un máximo relativo; en $x=0$ pasa de decrecer a crecer, de modo que hay un mínimo relativo. Calculamos las ordenadas.

$f(-2)=4(-8)+12\cdot 4-2=-32+48-2=14$

$f(0)=-2$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (0,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-2,0)$. Presenta un máximo relativo en el punto $(-2,14)$ y un mínimo relativo en el punto $(0,-2)$.