Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2022

Un grupo de biólogos está estudiando un cultivo de bacterias. La población de estas bacterias (en centenares) viene dada por la función $P(t)=a+{\displaystyle \frac{12t}{t^2+b}}$, donde $a$ y $b$ son constantes positivas reales y $t\ge 0$ es el tiempo transcurrido en minutos.

Sabemos que en el instante inicial del estudio la población de bacterias era de 6 centenares y que el valor máximo de población se ha alcanzado al cabo de 2 minutos de haber iniciado el estudio.

a) Encuentre los valores de las constantes $a$ y $b$. [1,25 puntos]

b) Calcule la población máxima de bacterias y estudie su comportamiento a largo plazo, es decir, hacia qué valor se estabiliza el número de bacterias. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{constantes}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La primera condición se traduce evaluando la función en el instante inicial, que es $t=0$.

$P(0)=a+{\displaystyle \frac{12\cdot 0}{0^2+b}}=a$

$a=6$

La segunda condición dice que en $t=2$ hay un máximo, y en un extremo relativo la derivada se anula. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{12(t^2+b)-12t\cdot 2t}{(t^2+b{)}^2}}={\displaystyle \frac{12b-12t^2}{(t^2+b{)}^2}}$

$P^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 12b-12\cdot 2^2=0\Rightarrow 12b=48\Rightarrow b=4$

Comprobamos que en $t=2$ hay realmente un máximo. El denominador de la derivada es siempre positivo, así que el signo lo marca el numerador $48-12t^2$.

$\{\begin{array}{l}\text{Si }t=1,48-12=36>0\\ \text{Si }t=3,48-108=-60<0\end{array}$

La función crece antes de $t=2$ y decrece después, de modo que efectivamente hay un máximo.

Las constantes valen $a=6$ y $b=4$, y la población es $P(t)=6+{\displaystyle \frac{12t}{t^2+4}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bacterias}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{comportamiento}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{plazo,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decir,}}\mathbf{\text{hacia}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{estabiliza}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bacterias.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La población máxima es el valor de la función en el máximo, que está en $t=2$.

$P(2)=6+{\displaystyle \frac{12\cdot 2}{2^2+4}}=6+{\displaystyle \frac{24}{8}}=6+3=9$

Para el comportamiento a largo plazo se calcula el límite cuando el tiempo tiende a infinito. En el cociente el denominador tiene mayor grado que el numerador, de modo que tiende a cero.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}P(t)=6+{\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{12t}{t^2+4}}=6+0=6$

La recta $y=6$ es asíntota horizontal de la función.

La población máxima es de $9$ centenares de bacterias, es decir, $900$ bacterias, y a largo plazo el cultivo se estabiliza en $6$ centenares, es decir, $600$ bacterias.