Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 2.2 (2,5 puntos). Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Sea la función real de variable real definida por
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2}{(x-2{)}^2}}& \text{si }x<0,\\ {\displaystyle \frac{x^2+x^3}{x^2+1}}& \text{si }x\ge 0.\end{array}$

a) (0,5 puntos) Determine razonadamente el dominio de $f(x)$.

b) (0,5 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x=0$.

c) (0,5 puntos) Calcule la asíntota de $f(x)$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.

d) (1 punto) Calcule la asíntota de $f(x)$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$.

Los únicos puntos que pueden quedar fuera del dominio son los que anulan algún denominador, así que revisamos los dos trozos.

$(x-2{)}^2=0\Rightarrow x=2$

El valor $x=2$ no pertenece al intervalo $x<0$, donde vive ese trozo, así que no hay nada que excluir.

$x^2+1\ge 1>0\text{para todo }x\in \mathbb{R}$

El segundo denominador no se anula nunca. La función está definida en todos los reales, $\text{Dom}f=\mathbb{R}$.



En $x=0$ cambia la definición de la función, de modo que comparamos los dos límites laterales con el valor de la función.

$f(0)={\displaystyle \frac{0^2+0^3}{0^2+1}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{0+2}{(0-2{)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

Los límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe el límite en el punto.

La función es discontinua en $x=0$, con una discontinuidad de salto finito de amplitud ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.



Cuando $x\to -\mathrm{\infty }$ manda el primer trozo, en el que el grado del denominador supera al del numerador, así que el límite es cero y hay asíntota horizontal.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x+2}{(x-2{)}^2}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}}{{(1-{\displaystyle \frac{2}{x}})}^2}}={\displaystyle \frac{0}{1}}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal cuando $x\to -\mathrm{\infty }$.



Ahora manda el segundo trozo, cuyo numerador supera en un grado al denominador: no hay asíntota horizontal pero sí oblicua, $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+x^2}{x^3+x}}=1$

$n={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^3+x^2}{x^2+1}}-x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-x}{x^2+1}}=1$

La división de polinomios lo confirma, porque el resto tiende a cero.

${\displaystyle \frac{x^3+x^2}{x^2+1}}=x+1+{\displaystyle \frac{-x-1}{x^2+1}}$

La recta $y=x+1$ es asíntota oblicua cuando $x\to +\mathrm{\infty }$, y la curva se le acerca por debajo.