Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Pregunta 2 (3 puntos)

Wiam podrá acceder a una importante cantidad de dinero si consigue desbloquear una caja fuerte con un PIN de cinco dígitos, resolviendo un reto de análisis matemático. Para ello, y dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{2x^2+6}{x-1}}$ tiene que:

a) Calcular el dominio de $f(x)$. [0,25 puntos]

b) Estudiar la existencia de asíntotas. [0,5 puntos]

c) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. Identificar los extremos relativos utilizando el criterio de la primera derivada. [0,75 puntos]

d) Escribir la recta tangente a la curva $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$. [0,5 puntos]

Por último:

e) Hallar el área de la región limitada por la curva $y=x^2+2$ y las rectas $y=x$, $x=0$ y $x=1$. [1 punto]

Es una función racional: su dominio lo forman todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x-1=0\Rightarrow x=1$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{1\}=(-\mathrm{\infty },1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$

El único valor excluido del dominio es $x=1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

La única candidata a asíntota vertical es el punto que no pertenece al dominio. Se calculan los límites laterales.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{2x^2+6}{x-1}}={\displaystyle \frac{8}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty };{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{2x^2+6}{x-1}}={\displaystyle \frac{8}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x^2+6}{x-1}}=\pm \mathrm{\infty }$

Al no ser finito el límite en el infinito, no hay asíntota horizontal. Como el grado del numerador supera en una unidad al del denominador, sí hay asíntota oblicua, que es el cociente de la división.

${\displaystyle \frac{2x^2+6}{x-1}}=2x+2+{\displaystyle \frac{8}{x-1}}$

La función tiene una asíntota vertical en $x=1$ y una asíntota oblicua de ecuación $y=2x+2$.



Se deriva por la regla del cociente y se iguala a cero.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{4x(x-1)-(2x^2+6)}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x^2-4x-6}{(x-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{2(x+1)(x-3)}{(x-1{)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow x=-1,x=3$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f^{\mathrm{\prime }}$ lo marca el numerador. Se hace un estudio de signos añadiendo $x=1$, que no pertenece al dominio.

$\begin{array}{ccccc}& (-\mathrm{\infty },-1)& (-1,1)& (1,3)& (3,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& +& -& -& +\\ f(x)& \nearrow & \searrow & \searrow & \nearrow \end{array}$

Por el criterio de la primera derivada, en $x=-1$ la derivada pasa de positiva a negativa y en $x=3$ de negativa a positiva.

$f(-1)={\displaystyle \frac{2+6}{-2}}=-4;f(3)={\displaystyle \frac{18+6}{2}}=12$

La función crece en $(-\mathrm{\infty },-1)\cup (3,+\mathrm{\infty })$ y decrece en $(-1,1)\cup (1,3)$, con un máximo relativo en $(-1,-4)$ y un mínimo relativo en $(3,12)$.





La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente, con la ordenada y la derivada en el punto.

$f(0)={\displaystyle \frac{6}{-1}}=-6;f^{\mathrm{\prime }}(0)={\displaystyle \frac{2(0+1)(0-3)}{(0-1{)}^2}}=-6$

$y-(-6)=-6(x-0)$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=0$ es $y=-6x-6$.



Primero se decide qué función queda por encima en el intervalo de integración.

$(x^2+2)-x=x^2-x+2$

Su discriminante es $(-1{)}^2-4\cdot 2=-7<0$, luego la diferencia no se anula nunca y la parábola está por encima de la recta en todo $[0,1]$. El área es la integral de la diferencia.

$A={\int }_0^1(x^2-x+2)dx$

Haciendo uso de la regla de Barrow:

$A={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+2x]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+2$

$A={\displaystyle \frac{2-3+12}{6}}={\displaystyle \frac{11}{6}}$

El área de la región pedida es ${\displaystyle \frac{11}{6}}\approx \mathrm{1,83}$ unidades de área.