Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

Apartado 2 - Cuestión 1. (3 puntos)

Dada la función:
$f(x)={\displaystyle \frac{-9+x^2}{x^2-4}}$

a) Determina su dominio y los puntos de corte de la gráfica de $f(x)$ con los ejes de coordenadas. [0,5 puntos]
b) Estudia sus asíntotas. [0,5 puntos]
c) Estudia el crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. [1 punto]
d) Halla y clasifica sus extremos relativos. [0,25 puntos]
d) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=3$. [0,75 puntos]

Es una función racional: quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$

$\mathrm{Dom}f=\mathbb{R}-\{-2,2\}$

El corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)={\displaystyle \frac{-9}{-4}}={\displaystyle \frac{9}{4}}$

Los cortes con el eje $OX$ salen de anular el numerador.

$x^2-9=0\Rightarrow x=\pm 3$

La gráfica corta a los ejes en $(0,{\displaystyle \frac{9}{4}})$, $(-3,0)$ y $(3,0)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas.}}(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

Las candidatas a asíntota vertical son los puntos que no pertenecen al dominio, y en ellos el numerador no se anula.

${\lim }_{x\to \pm 2}{\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{-5}{0}}=\mathrm{\infty }$

Las rectas $x=-2$ y $x=2$ son asíntotas verticales. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

${\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2-9}{x^2-4}}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal y, al existir, no hay asíntota oblicua.



Se deriva por la regla del cociente y se saca factor común en el numerador.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{2x(x^2-4)-2x(x^2-9)}{(x^2-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{2x[(x^2-4)-(x^2-9)]}{(x^2-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{10x}{(x^2-4{)}^2}}$

El denominador es siempre positivo donde la función existe, así que el signo de la derivada es el de $x$. Se hace un estudio de signos añadiendo los puntos que no son del dominio.



La función decrece en $(-\mathrm{\infty },-2)\cup (-2,0)$ y crece en $(0,2)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{clasifica}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos.}}(\mathrm{0,25}\text{ puntos})$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 10x=0\Rightarrow x=0$

Por el criterio de la primera derivada, en $x=0$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(0,{\displaystyle \frac{9}{4}})$.



La recta tangente se escribe en forma punto-pendiente con la ordenada y la derivada en el punto.

$f(3)={\displaystyle \frac{9-9}{9-4}}=0;f^{\mathrm{\prime }}(3)={\displaystyle \frac{10\cdot 3}{(9-4{)}^2}}={\displaystyle \frac{30}{25}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$

$y-0={\displaystyle \frac{6}{5}}(x-3)$

La recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=3$ es $y={\displaystyle \frac{6}{5}}x-{\displaystyle \frac{18}{5}}$.